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    一道由函数零点求参数值问题的多种解法探讨

    来源:六七范文网 时间:2022-09-08 14:20:05 点击:

      中图分类号:P58 文献标识码:A 文章编号:1009-914X(2019)13-0021-01
      高中数学中,函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围,这是高考常见的题型,往往是根据零点定理的有关知识和参数求解常用方法,结合具体问题进行求解,本文以2017年全国高考新课标III理科数学的第11题为例,探讨由函数零点求参数值问题的多种解法。
      已知函数 有唯一零点,则 ( )
      A. B. C. D.1
      本题主要考查函数的零点、导函数研究函数的单调性、分类讨论和数形结合数学思想等方面的知识和能力。函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围,若方程可解,通过解方程即可得出参数的范围,若方程不易解或不可解,则可将问题转化为构造两个函数,利用两个函数图象的关系求解,这样会使得问题变得直观、简单,这也体现了数形结合思想的应用。
      对于本题,首先要观察函数解析式,该函数是复杂函数,求导后仍是复杂函数,不易判断零点,需要再次求导;其次分析选项特点,一是选项与e无关,解题方向要考虑如何消掉e,二是判断a的正负;第三,观察(x-1)多次出现,可以考虑换元。因此,本题可以按正常的解题思路,即求导、看单调性、判断零点的解法,也可以考虑采用非常规方法来解决问题。
      解法一:常规法1—求导
      由已知得 ,所以 ,
      又因为 ,
      所以 时,
      所以
      所以 的最小值为 ,
      因为 有唯一零点,所以 ,即 ,答案为C。
      解法二:常规法2—分离参数法
      ,等价于 。
      而 有唯一零点,等价于直线 与函数 的图象有且仅有一个公共点(一般地,这只需求出函数 的最值)。
      化繁为简,令 ,则函数 。
      原問题等价于直线 与函数 的图象有且仅有一个公共点。
      下面用函数的性质研究 的取值情况。
      首先易知, 的定义域为R,且为偶函数。
      或 ; ;
      对于非零实数 使得 ,则必有 ,不合题意;
      所以只能是 ,答案为C。
      解法三:常规法3--换元法
      令 ,则 ,则 为偶函数,
      有唯一零点,所以 有唯一零点,
      所以 ,
      即 ,答案为C。
      解法四:非常规1--函数重构
      分析函数构成特点,进行函数重构,将原函数拆分成一个二次函数和复合幂函数,
      即
      当 为正时,运用不等式放缩,
      即
      两者能在 能同时取得最小值,即 时,有唯一零点,
      得 ,答案为C。
      解法五:非常规2—判断式法
      观察 是互为倒数的正数,当 为正时,
      则
      有唯一零点时,可判断 也有唯一零点。
      对于 有唯一零点,则
      得 ,此时 ,答案为C。
      解法六:对称法
      由条件, ,得:
      ∴ ,即 为 的对称轴,
      由题意, 有唯一零点,
      ∴ 的零点只能为 ,
      即 ,
      解得 ,答案为C。

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