图示化解答数学问题的异质分析及其应用启示
[摘 要] 智慧技能类知识的习得对青少年心智发展有重要作用。以数学为代表的智慧技能类知识在实际学习中实为难点。那么，图示在智慧技能类知识学习中将有怎样的影响，如何通过图示应用分析发现学生在智慧技能类知识学习中的弱点及其程度。在图示辅助的初中数学方程与函数知识学习情境下，通过数据收集、回归分析、聚类分析和异质组个案比较，结果表明：（1）图示化知识學习可以辅助理解与思考，对偏弱、中等水平的学生更有作用；（2）不同水平的学生对图示方式都有较高的倾向；良好水平学生融通图示与题意的能力较强，对图示材料依赖少而弱；而偏弱水平学生在信息整合、知识应用方面表现不力，对图示材料依赖多而强。研究认为，图示化知识习得与运用需要靶向主体异质因子；准确、恰当的图示设计与正确的图示运用是促进知识学习的重要条件；图示方式可辅助于分解理解过程，进而通过靶向增强图示效用。
[关键词] 图示化学习； 数学问题； 方程与函数； 异质分析； 初中数学
[中图分类号] G434 [文献标志码] A
[作者简介] 权国龙（1983—），男，甘肃高台人。副教授，博士，主要从事学习科学与技术设计、可视化设计与应用、知识表征与建模的研究。Email： quangl@jiangnan.edu.cn。
一、研究问题
视听教学开展以来，海量多媒体视听材料得以开发、应用，这源于对视听学习重要性的认识。然而，在实际应用中，视听材料能在学习中产生的效用并不简单地决定于用或不用，而在于所面向主体的特质、完成设计的理论指导、正确使用的方法与策略以及科学使用的依据等。当前视觉材料的多学科设计应用中缺少反馈，自然地导致不能或无法对潜在的问题及难以观察的偏差进行后续研究。这也逐渐成为媒体理论应用与发展的瓶颈。
知识可视化表征有助于理解、习得与应用，与其性质一致的图示一起，可用于帮助学习者更好地学习、利用，甚至创造知识。视觉思维的研究发现，可视方式可以加速信息的输入与理解，并具有检索功能[1]；著名学者戴维·乔纳森也主张以可视化工具为手段，辅助学习者在知识学习、问题解决、系统理解中建模，帮助其进行认知模拟[2]。已有研究肯定了图示在学习中的诸多积极作用[3-4]。但整体上图示化、可视化设计及其学习应用的特点和规律，在理论与实践上还需要更多探索。学习境脉中多源多元因素的作用是错综复杂的；可视化设计与应用的结果也不单纯由其特性决定。本研究以智慧技能类知识的图示化学习为研究背景，通过分析了解学生的具体表现，包括过程表现、结果差异、群组差异、个体差异，揭示将图示为代表的可视化设计应用于学科知识学习中的技术效用。
智慧技能类知识是学习者形成智慧技能的基础性条件。它是个体通过使用符号保持与环境的接触的操作性技能，属于“知如何”或“程序性”知识[5]。而数学知识就是其中的典型。按照加涅的智慧技能习得条件，在智慧技能类知识图示化设计与应用中可以充分利用“拟象表征”和“解析表征”的过程类图示[6]，帮助学习者增强对数学概念内涵的理解和数学知识的迁移与应用[7]。本研究聚焦于图示应用对于不同水平学习者的影响，以及此过程中不同水平学习者所存在问题及其程度。研究问题是：（1）图示化知识学习对不同学习水平的学生有什么样的影响？（2）偏低水平学习者在智慧技能知识学习中的弱点及其程度如何？
二、研究设计
（一）参与者
研究主要面向13～15岁的青少年群体，选取某初级中学二年级的27名学生进行。这些学生在最近的数学科目测试中成绩处于年级中上水平。研究得到学校教务负责人与授课教师的支持；实验所用材料及使用的调查工具已通过负责人和授课教师的审阅。
（二）研究过程
研究意在利用图示方法[8]与图示材料帮助学生获得数学方程与函数知识，并运用它们解答应用类数学问题。数学知识涉及初中二年级方程与函数知识。教学过程包括三个环节。（1）举例介绍用图示解答应用题目的基本过程和重要步骤。（2）使用设计的例子讲解如何使用图示分析并解答数学方程与函数应用题目。（3）用习题进行练习并及时指导。在每次授课之后都为学生安排练习。初期的重点是让学生了解图示化表征形式；之后则主要是讲授、课堂操练与课后练习的循环过程。所设计的图示化辅助材料主要有：图示化解答例题，图示化解题案例集，方程与函数知识图解，常见情境概念关系图集，方程与函数符号集。
教学过程跨越两个学期。由于初中数学课程内容包括交替进行的代数与几何两个部分，方程与函数知识的学习与应用并不紧密连续；实际进行时间共约三个月。学生学习的目的是掌握数量、变化和关系，并能初步运用它们解决实际问题。在方法应用与材料设计中，充分考虑了知识可视化表征的“拟像”和“解析”两种形式，以通过直观形象的、结构清晰的图像为学习提供有力支持[6]。
（三）数据的收集与分析
研究的目的是要了解图示方式下学生掌握并应用智慧技能知识（方程与函数）的特点，并了解学生在此过程中表现出来的弱点；其重点是揭示不同水平的学生在图示化学习智慧技能知识时的差异，确定引差异的因子及程度。为此，研究充分采用量化测评的手段和质性分析的方法。在数据收集方面，充分考虑了图示应用的特点，从学生图示化解答题目的过程与结果和学生对图解方法与材料的态度两个方面进行。
对图示作答的过程与结果，研究进行了几个重要的探查。（1）了解学生图示化作答的表现与智慧技能知识学习结果之间的关系。（2）了解在图示化知识应用方面不同水平学生在哪些方面有差别。（3）不同水平学生组之间的图示化解题有多大差距。依据这些分析，可以推敲在此过程中学生的学情差异、思维差别，以及主要方面的相异程度。数据收集工作主要通过测试与问卷完成。其中测试成绩主要的数据包括：情境概念（CO）、概念关系（CR）、等量关系（BR）、数学表达式（MF）、解题成绩（S）；为了解学生对题目情境的理解，以这些数据为基础衍生了情境理解（HCOR）这一数据；用它们共同反映学生对情境的理解、数学转换与表达和应用题目解答的情况。这些数据是学生利用图示获得并运用知识的过程与结果的体现。其中的情境概念、概念关系、等量关系，代表了学生对题目情境的理解过程；情境理解、数学表达式与成绩代表了题目解答的阶段性或最后结果。学生利用图示解答数学应用题目时，需要先识别其中的概念、关系、等量关系，再写出解答问题的数学表达式，最后计算并得到结果。