证明级数不等式放缩法(1)

　证明级数不等式的放缩法

　兰琦

　2014 年 12 月 8 日

　朮朮

　朮朮朮

　朮朮朮朮朮

　朮朮朮朮

　朮朮朮

　朱

　1 引言

　2 分析通项法朲朮朱分析通项法

　朮朮

　朮

　朮朳

　朲朮朲对数函数不等式

　朮

　朮朴

　朲朮朳习题

　朮朮朮朮朮朮

　朮

　朮朷

　朲朮朴习题参考答案朮

　朮

　朮朸

　3 等比放缩法朳朮朱等比放缩法

　朮朮

　朮

　朮朹

　朳朮朲交错级数的处理思路

　朮

　朮朮朱朱

　朳朮朳进阶篇

　朮朮朮朮朮朮朮

　朮

　朮朮朱朱

　朳朮朴习题

　朮朮朮朮朮朮朮朮

　朮

　朮朮朱朳

　朳朮朵习题参考答案

　朮朮朮

　朮

　朮朮朱朴

　裂项放缩法朴朮朱裂项放缩法

　朮朮

　朮

　朱朶

　朴朮朲一些常用的裂项

　朮

　朮朱朷

　朴朮朳进阶篇

　朮朮朮朮朮

　朮

　朮朲朳

　朴朮朴习题

　朮朮朮朮朮朮

　朮

　朮朲朶

　朴朮朵习题参考答案朮

　朮

　朮朲朷

　不动点裂项朵朮朱迭代函数

　朮朮

　朮

　朲朸

　朵朮朲不动点裂项朮

　朮

　朮朳朲

　朵朮朳习题

　朮朮朮朮朮

　朮

　朮朳朳

　朵朮朴习题参考答案朮

　朮

　朮朳朴

　积分放缩法朶朮朱积分放缩法朮

　朮

　朳朷

　朶朮朲习题

　朮朮朮朮朮

　朮

　朮朴朱

　朶朮朳习题参考答案朮

　朮

　朮朴朱

　朮朮朮朮

　7 其他放缩法

　 44 朷朮朱整体放缩法

　朮

　朴朴

　朷朮朲并项放缩法

　朮

　朴朵

　朷朮朳倒序放缩法

　朮

　朴朷

　朷朮朴切线放缩法

　朮

　朴朸

　朷朮朵二项式放缩法

　朮

　朮朵朰

　Σ−

　朩，而 Σ

　Σ⇔

　例题

　2.1

　已知 f

　木 x 朩

　朽

　朲 x

　末

　朱

　， h

　木 x 朩

　朽

　√ x

　，试比较 f

　木朱朰朰朩 h

　木朱朰朰朩

　−

　1Σ00

　木 k 朩与朱

　的大小 k

　1 引言形如

　n a

　k =1

　 < T n

　（

　n ∈ N ∗

　，

　n > N 0

　）的不等式称为级数不等式，这类不等式在高考压轴题及自主招生考试压轴题中频繁出现，在这里对这种类型的级数不等式的证明方法作一个系统的阐述．考虑到 T n

　朽 T 1

　末 n − 1 木 T

　k =1

　 k +1

　k a k

　k =1

　朽 a 1

　末 n−1 a

　k =1

　 k +1

　，于是级数不等式

　a k

　< T n

　k =1

　可以改写为 n n

　a 1

　末Σ a k +1

　< T 1

　末Σ 木 T k +1

　− T k 朩

　k =1

　即 n

　k =1

　Σ 杛 a k +1

　− 木 T k +1

　− T k 朩杝 < T 1

　− a 1

　因此所有级数不等式可以改写为 n a k =1

　< C 的形式．

　级数不等式的证明最为困难的一点就是 n a k =1

　难以求和，因此利用各种放缩的手段将其放缩为可以求和的形式至关重要，常用的处理方式有分析通项法、等比放缩法、裂（错）项放缩法、积分放缩法以及整体（并项）放缩法．

　 2 分析通项法

　2.1 分析通项法对于级数不等式 n a k =1

　< C ，若通项

　a n

　从某项（ a N

　）后1 满足

　a n

　 < 朰，那么

　n a <

　k =1

　C N a

　k =1

　< C 这种级数不等式是较为简单的，这种证明 2 方法称为分析通项法3 ．

　朳朲

　关系． Å ã

　k =1 朶

　朲朱 √ Σ

　令 S

　朽

　木 n 朩

　−

　Σn

　木 k 朩

　朽

　n 末

　n −

　√ k ．则

　k =1

　朳朲

　Å 朲朱 ã k =1

　朱

　S 1

　朽朳末朲 · 朱 − 朱朽朶

　1 这种想法称为“后移放缩起点”，是可以配合所有放缩法使用的调整方式． 2 可以用分析通项法证明的级数不等式一定可以利用数学归纳法证明，其本质相同． Σn

　 k =1

　3 在实际应用时，对 a k

　< T k

　类型的级数不等式，我们可以直接去探索

　a n+1

　< T n+1

　− T n

　而无需先行改写．

　k=1

　n +1

　−

　− √

　朳

　朶

　朲

　√

　≤

　事实上， Å 朲朱 ã S

　朽 · 朲末

　· √ 朲 − 朱 − √ 朲朽

　朵√朲 − 朱 >

　朷 − 朱朽

　朱

　朳朲

　考虑证明 S n

　单调递增．朶朶朶

　 S − S

　ï朲朱 ò 朽木 n 末朱朩末

　√ n 末朱 − Σ √ k −

　Å 朲朱 ã n 末 √ n 末 Σ √ k

　n +1

　n 朳

　Å 朲

　朱 ã 朽 n 末朲

　√ n 末朱 − 朳朲

　Å k =1 ã

　朲朱

　n 末 n

　k =1

　朽朱 î 木朴 n 末朱朩√ n 末朱木朴 n 末朳朩√nó 朶

　朽朱 Ä √朱朶 n 3 末朲朴 n 2 末朹 n 末朱 √朱朶 n 3 末朲朴 n 2 末朹 nä 朶

　朰

　因此当

　n > 朲时，

　S n

　朱

　S 1

　朽．朶

　例题 2.2

　求证：

　n 朱末

　k =1

　朱 ã Å 朱 ã 朲 k 朳朱 − 朲 n ．对于这种题目，我们可以延续分析通项的思想1 ，先计算

　Å 朱 ã 朳朱 − 朲 n

　朲 n

　− 朱朱

　Å 朱 ã 朽朲 n − 朲朽朱末朲 n − 朲

　朳朱 − 朲 n−1

　而通项朱朱

　朱末 < 朱末

　朲 n 朲 n − 朲

　显然成立．因此原不等式成立．

　2.2 对数函数不等式首先回顾对

　f 木 x 朩朽杬杮 x 的常用放缩 2 ：

　在木 − 朱 , 朰朩 ∪ 木朰 , 末 ∞ 朩上，

　朱末 x < 杬杮木朱末 x 朩 < x.

　这个放缩有其优点：①简单；②在 x 朽朰左右两边均成立；但也有明显的缺点，那就是太过宽松．接下来我们探索对于对数函数 f 木 x 朩朽杬杮 x 在 x 朽朱附近一种重要放缩 c 木 x − 朱朩． ax 末 b

　1 Q a k

　≤ T k

　类型的不等式的本质也是级数不等式，可以利用作商代替作差

　 2 事实上，有更好的

　1 + x

　< ln (1 + x ) < x

　朳

　−

　首先计算朱阶导数：

　木杬杮 x 朩 ′

　x =1

　朽 x −1

　 x =1 朽朱

　Å c 木 x − 朱朩 ã′

　 c 木 a 末 b 朩 c

　朽朽

　 ax 末 b

　x =1

　木 ax 末 b 朩

　 x =1

　a 末 b

　为了保证二者在 x 朽朱处相切，令 c

　a 末 b

　朽朱，即 c 朽 a 末 b ．此时

　c 木 x − 朱朩朽

　ax 末 b

　木 a 末 b 朩木 x − 朱朩朽

　ax 末 b

　Å b ã 朱末木 x 朱朩

　a ,

　x 末 a

　记 λ 朽 b ，则 g 朱末 λ 朱末 λ 木 x 朩朽木 x − 朱朩，考虑函数

　F 木 x 朩朽杬杮 x − 木 x − 朱朩有 a λ

　x 末 λ

　朱木朱末 λ 朩 2

　 x 末 λ

　木 x − 朱朩木 x − λ2 朩

　 F ′ 木 x 朩朽 x − 木 x 末 λ 朩 2 朽

　2 .

　x 木 x 末 λ 朩

　第一种情形，当 λ 朽朱时 F 木 x 朩单调递增，而 F 木朱朩朽朰，于是在木朰 , 朱朩上，杬杮 x < 朲朲

　x 末朱木 x − 朱朩；在木朱 , 末 ∞ 朩上，

　杬杮 x > x 末朱木 x − 朱朩．由于此时

　g λ

　木 x 朩与

　f 木 x 朩朽杬杮 x 在

　x 朽

　朱处的二阶导数相同，所以这是一个很好的近似．但是它有个明显的缺点，那就是不等号的

　方向是不可控的．我们接下来研究 λ /朽朱的情形．第二种情形，当

　λ > 朱时

　F 木 x 朩在木朰 , 朱朩上单调递增，在木朱 , λ2 朩上单调递减，在木 λ2 , 末 ∞ 朩上

　单调递增，而 F 木朱朩朽朰，于是在木朰 , 朱朩上1 ，

　在木朱 , λ2 朩上，

　朱末 λ 杬杮 x < x 末 λ 木 x − 朱朩朻

　这点相当重要，因为相当于给出了对 f 木 x 朩朽杬杮 x 在朱右侧的很好估计，配合第一种情形中的结论有：在木朱 , λ2 朩上，

　朲木 x − 朱朩 < 杬杮 x < 朱末 λ 木 x − 朱朩．

　x 末朱

　例如取

　λ 朽朲，就有在木朱 , 朴朩上，

　朲

　x 末 λ

　朳

　x 末朱木 x − 朱朩 < 杬杮 x < x 末朲木 x − 朱朩 .

　并且不难知道， λ 越小，上界越精确，但放缩范围也随之减小．需要注意的是在木 λ2 , 末 ∞ 朩上，

　f 木 x 朩朽杬杮 x 的图象将逐步追上

　g λ

　图象并位于其他上方．

　朱末 λ 木 x 朩朽 x 末 λ 木 x − 朱朩的 1 这点无价值，因为

　1 + λ ( x − 1) > 2

　( x − 1)

　x + λ x + 1

　Σ−

　Σ朸 −

　√

　−

　第三种情形，当 λ < 朱时与 λ > 朱情况类似，我们有重要结论：在木 λ2 , 朱朩上，

　朱末 λ 朲

　x 末 λ 木 x − 朱朩 < 杬杮 x < x 末朱木 x − 朱朩

　至此，我们就得到了对数函数杬杮 x 在 x 朽朱附近的可调整松紧的放缩：

　2 朲朱末 λ •

　在木朱 , λ 朩上， x 末朱木 x − 朱朩 < 杬杮 x < x 末 λ 木 x − 朱朩；

　2 朱末 λ 朲

　•

　在木 λ , 朱朩上， x 末 λ 木 x − 朱朩 < 杬杮 x < x 末朱木 x − 朱朩．此...

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证明级数不等式放缩法(1)

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