课时过关检测( ( 七十二) )
直接证明与间接证明
A 级——基础达标
1．用分析法证明：要证①A＞B，只需证②C＜D，这里①是②的(
) A．充分条件
B．必要条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件 解析：选 B 分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即②是①的充分条件，所以①是②的必要条件． 2．在△ABC 中，sin Asin C<cos Acos C，则△ABC 一定是(
) A．锐角三角形
B．直角三角形 C．钝角三角形
D．不确定 解析：选 C 由 sin Asin C<cos Acos C，得 cos Acos C－sin Asin C>0， 即 cos(A＋C)>0，－cos B>0， cos B<0，从而 B> π2 ，故△ABC 必是钝角三角形． 3．分析法又称执果索因法，已知 x>0，用分析法证明 1＋x<1＋ x2 时，索的因是(
) A．x 2 >2
B．x 2 >4 C．x 2 >0
D．x 2 >1 解析：选 C 因为 x>0， 所以要证 1＋x<1＋ x2 ， 只需证( 1＋x) 2 < 1＋ x22 ，即证 0< x24 ， 即证 x 2 >0， 因为 x>0，所以 x 2 >0 成立，故原不等式成立． 4．已知 f(x)＝x 3 ＋x，a，b，c∈R R，且 a＋b＞0，a＋c＞0，b＋c＞0，则 f(a)＋f(b)＋f(c)的值一定(
) A．大于 0
B．等于 0 C．小于 0
D．正负都可能 解析：选 A f(x)为奇函数，也是增函数，因此由 a＋b＞0 可得 a＞－b，所以 f(a)＞f(－b)，即 f(a)＞－f(b)，于是 f(a)＋f(b)＞0，同理，f(a)＋f(c)＞0，f(b)＋f(c)＞0，所以 f(a)＋f(b)＋f(c)＞0. 5．若 a＞0，b＞0，a＋b＝1，则下列不等式不成立的是(
)
A．a 2 ＋b 2 ≥ 12
B．ab≤ 14
C. 1a ＋1b ≥4
D. a＋ b≤1 解析：选 D a 2 ＋b 2 ＝(a＋b) 2 －2ab＝1－2ab≥1－2·a＋b22 ＝ 12 ，∴A 成立； ab≤ a＋b22 ＝ 14 ，∴B 成立； 又 1a ＋1b ＝a＋ba＋ a＋bb＝2＋ ba ＋ab ≥2＋2 ba ·ab ＝4，∴C 成立，故选 D. 6．用反证法证明“若 x 2 －1＝0，则 x＝－1 或 x＝1”时，应假设____________________． 解析：“x＝－1 或 x＝1”的否定是“x≠－1 且 x≠1”． 答案：x≠－1 且 x≠1 7. 6＋ 7与 2 2＋ 5的大小关系为________． 解析：要比较 6＋ 7与 2 2＋ 5的大小，只需比较( 6＋ 7) 2 与(2 2＋ 5) 2 的大小，只需比较 6＋7＋2 42与 8＋5＋4 10的大小，只需比较 42与 2 10的大小，只需比较 42 与 40的大小，∵42＞40，∴ 6＋ 7＞2 2＋ 5. 答案：
6＋ 7＞2 2＋ 5 8．若二次函数 f(x)＝4x 2 －2(p－2)x－2p 2 －p＋1 在区间[－1,1]内至少存在一点 c，使 f(c)＞0，则实数 p 的取值范围是________． 解析：(补集法) 令 f－1＝－2p 2 ＋p＋1≤0，f1＝－2p 2 －3p＋9≤0，解得 p≤－3 或 p≥ 32 ，故满足条件的 p 的取值范围为－3， 32. 答案：
－3， 32 9．已知 m＞0，a，b∈R R，求证：
a＋mb1＋m2 ≤ a2 ＋mb 21＋m. 证明：因为 m＞0，所以 1＋m＞0. 所以要证 a＋mb1＋m2 ≤ a2 ＋mb 21＋m， 只需证 m(a 2 －2ab＋b 2 )≥0，即证(a－b) 2 ≥0， 而(a－b) 2 ≥0 显然成立，故 a＋mb1＋m2 ≤ a2 ＋mb 21＋m. 10．已知数列{a n }满足 a 1 ＝ 12 ，且 a n ＋ 1 ＝a n3a n ＋1 (n∈N N* )．
(1)证明：数列 1a n是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设 b n ＝a n a n ＋ 1 (n∈N N * )，数列{b n }的前 n 项和记为 T n ，证明：T n ＜ 16 . 证明：(1)由已知可得，当 n∈N N * 时，a n ＋ 1 ＝a n3a n ＋1 ，两边取倒数得，1a n ＋ 1 ＝3a n ＋1a n＝1a n ＋3， 即1a n ＋ 1 －1a n ＝3，所以数列 1a n是首项为1a 1 ＝2，公差为 3 的等差数列， 其通项公式为1a n ＝2＋(n－1)×3＝3n－1， 所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝13n－1 . (2)由(1)知 a n ＝13n－1 ， 故 b n ＝a n a n ＋ 1 ＝13n－13n＋2 ＝13 13n－1 －13n＋2， 故 T n ＝b 1 ＋b 2 ＋…＋b n
＝ 13 × 12 －15＋ 13 × 15 －18＋…＋ 13 × 13n－1 －13n＋2＝ 13 12 －13n＋2 ＝ 16 －13 ·13n＋2 . 因为13n＋2 ＞0，所以 T n ＜16 . B 级——综合应用
11．设 A，B，C 为锐角三角形 ABC 的三个内角，M＝sin A＋sin B＋sin C，N＝cos A＋2cos B，则(
) A．M＜N
B．M＝N C．M＞N
D．M，N 大小不确定 解析：选 C 因为 A，B，C∈ 0， π2，所以 A＋B＞ π2 ，则 sin A＞sin π2 －B ，即 sin A＞cos B
①，同理 sin B＞sin π2 －A ⇒sin B＞cos A ②，sin C＞sin π2 －B ⇒sin C＞cos B ③，将不等式①②③两边相加可得 M＞N.故选 C. 12．实数 a，b，c 满足 a＋b＋c＝0，abc＞0，则 1a ＋1b ＋1c 的值(
) A．一定是正数
B．一定是负数 C．可能是 0
D．正、负不确定 解析：选 B 由 a＋b＋c＝0，abc＞0 得 a，b，c 中必有两负一正，不妨设 a＜0，b＜0，
c＞0，且|a|＜c，则1|a| ＞1c ，从而－1a ＞1c ，又1b ＜0，所以1a ＋1b ＋1c ＜0. 13．若 f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a＜b)，则称函数 f(x)是[a，b]上的“四维光军”函数． (1)设 g(x)＝ 12 x2 －x＋ 32 是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数 b 的值； (2)是否存在常数 a，b(a＞－2)，使函数 h(x)＝1x＋2 是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题设得 g(x)＝ 12 (x－1)2 ＋1，其图象的对称轴为 x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增． 由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b， 由 12 b2 －b＋ 32 ＝b，解得 b＝1 或 b＝3. 因为 b＞1，所以 b＝3. (2)假设函数 h(x)＝1x＋2 在区间[a，b](a＞－2)上是“四维光军”函数， 因为 h(x)＝1x＋2 在区间(－2，＋∞)上单调递减， 所以有 ha＝b，hb＝a，即 1a＋2 ＝b，1b＋2 ＝a. 解得 a＝b，这与已知矛盾． 故不存在常数 a，b(a＞－2)使函数 h(x)＝1x＋2 是区间[a，b]上的“四维光军”函数．
C 级——迁移创新
14.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C：x 2 ＋y 2 ＝1＋|x|y就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：
①曲线 C 恰好经过 6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2； ③曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3. 其中，所有正确结论的序号是________(填序号)． 解析：由 x 2 ＋y 2 ＝1＋|x|y，当 x＝0 时，y＝±1；当 y＝0 时，x＝±1；当 y＝1 时，x＝0，±1.故曲线 C 恰好经过 6 个整点：A(0,1)，B(0，－1)，C(1,0)，D(1,1)，E(－1,0)，F(－1,1)，所以
①正确．由基本不等式，当 y＞0 时，x 2 ＋y 2 ＝1＋|x|y＝1＋|xy|≤1＋ x2 ＋y 22，所以 x 2 ＋y 2 ≤2，所以 x 2 ＋y 2 ≤ 2，故②正确．如图，由①知长方形 CDFE 面积为 2，三角形 BCE 面积为 1，所以曲线 C 所围成的“心形”区域的面积大于 3，故③错误． 答案：①② 15．对于三次函数 f(x)＝ax 3 ＋bx 2 ＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设 f′(x)是函数 y＝f(x)的导数，f″(x)是 f′(x)的导数，若方程 f″(x)＝0 有实数解 x 0 ，则称点(x 0 ，f(x 0 ))为函数 y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若 f(x)＝ 13 x3 － 12 x2 ＋3x－ 512 ，请你根据这一发现：
(1)求函数 f(x)的对称中心； (2)计算 f 12 021＋f 22 021＋f 32 021＋f 42 021＋…＋f 2 0202 021. 解：(1)f′(x)＝x 2 －x＋3，f″(x)＝2x－1， 由 f″(x)＝0，即 2x－1＝0，解得 x＝ 12 . f 12＝ 13 × 123 － 12 × 122 ＋3× 12 －512 ＝1. 由题中给出的结论，可知函数 f(x)＝ 13 x3 － 12 x2 ＋3x－ 512 的对称中心为 12 ，1 . (2)由(1)知函数 f(x)＝ 13 x3 － 12 x2 ＋3x－ 512 的对称中心为 12 ，1 ， 所以 f 12 ＋x ＋f 12 －x ＝2， 即 f(x)＋f(1－x)＝2. 故 f 12 021＋f 2 0202 021＝2， f 22 021＋f 2 0192 021＝2， f 32 021＋f 2 0182 021＝2， …， f 2 0202 021＋f 12 021＝2. 所以 f 12 021＋f 22 021＋f 32 021＋f 42 021＋…＋f 2 0202 021＝ 12 ×2×2 020＝2 020.