摘 要:对于一些特殊形式的代数或三角题,单纯用代数或三角知识去处理,推理或运算过程比较复杂。而在有些代数式具有某种明显的几何意义时,如能作出它的图象,结合几何图象来思考,往往能使运算和推理过程简化,收到事半功倍的效果。本文利用几何图象的一些定理,简化推导方法,达到数形结合的良好解题效果。
关键词:向量的概念;向量的数量积;向量法
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】1671-8437(2012)02-0033-01
对于一些特殊形式的代数或三角题,单纯用代数或三角知识去处理,推理或运算过程比较复杂。而在有些代数式具有某种明显的几何意义时,如能作出它的图象,结合几何图象来思考,往往能使运算和推理过程简化,收到事半功倍的效果。在解某些几何题的时候,一旦把几何问题代数化之后,往往忽视几何图形本身的作用而在代数运算上下功夫,常常使一些简单的几何性质的导出也要进行冗长而复杂的计算。因此,我们要充分利用几何图象,做到数形结合,达到很好的解题效果。
例1:不查表,求tan22.5°的值。
此题利用半角公式不难求出答案。但若用几何方法来处理,给人一个耳目一新的感觉,值得大家探究。
如图(1),作等腰直角三角形ABC,使B=90°,AB=BC=1则∠BAC=45°,AC=,延长BA至D,使AD=AC=,则∠ADC=22.5°,显然有tan22.5°=1+1=-1。
例2,若a1、a2、b1、b2都是实数,证明+≥。
此题用代数方法证明是比较麻烦的,但若我们将与几何中两点间的距离公式挂起钩来,就可得到下面比较简单的方法:因为a1、a2、b1、b2都是实数,如图(2),我们可在平面上作出坐标分别A(a1,b1),B(-a2,-b2)的两点,则: |OA|=
|OB|= |AB|=
由于|OA|+|OB|≥|AB|(A、O、B共线时取等号),故有
+≥。
例3:已知江面宽a里,两岸是平行线。电厂A向下游b里对岸工厂C供电。单位长电线安装费,水底是陆地的m倍(m>1),应当怎样安装电线,使安装费最省?
如图(3),若在D处下水,设AD=x里,令陆地上一里长电线安装费用为一个单位,则安装总费用为y=x+m,对此函数求极值,有不小难度。但仔细观察图形,设想把AD压缩为DE=AD,则总安装费用为y=AD+mCD=mED+mCD=m(ED+DC),而表示AD的线段DE,显然可由以AD为斜边的直角三角形ADE的直角边DE表示,只要∠DAE=α满足sinα=就可以了,这时DE=AD. sinα=,于是要y取最小值,只要ED+DC最短,显然必须E、D、C在一直线上。这时
BD=a.tanα=a.=
AD=b-BD=b-
故电线应离电厂b-里的D点下水。
例4:求函数f(x)=的最大值与最小值。
分析,此题粗看应该是三角函数最值问题。但如果是用三角函数的知识去解就很困难了。但仔细观察,不难发现式子右边和解析几何中直线斜率公式很类似。如此一来问题就很简单了。相当于单位圆上一动点(cosθ,sinθ)与一定点P(3,-2)的直线的斜率k的最大值与最小值。
解:如图(4)很明显当PA与PB与圆相切时,直线AP与BP的斜率分别取得最大值与最小值。设过点P且与圆相切的切线斜率为k,则切线方程为:y+2=k(x-3)即kx-y-3k-2=0,由圆心
O(0,0)到切线的距离等于半径1,得=1,解得
k= 。