目录
【摘要】........................................................................................................................................... 1 【关键词】
....................................................................................................................................... 1 【引言】........................................................................................................................................... 1 1.应用微分中值定理证明不等式 ................................................................................................... 2 1.1 利用拉格朗日中值定理证明不等式 ............................................................................... 2 1.2 利用柯西中值定理证明不等式 ....................................................................................... 3 2.应用函数的单调性证明不等式 ................................................................................................... 4 3.应用函数图形的凹凸性证明不等式 ........................................................................................... 6 4.应用函数的极值与最值证明不等式 ........................................................................................... 8 【结束语】
....................................................................................................................................... 9 【参考文献】
................................................................................................................................. 10 【致谢】......................................................................................................................................... 10 【注释】......................................................................................................................................... 10 【附录】......................................................................................................................................... 10
导数在不等式证明中的应用 【摘要】
对于整个数学知识的学习内容而言，不等式的证明是相当重要的一部分，在证明不等式的时候通常会使用比较法、数学归纳法、分析法等常用的方法。另外，在微积分中导数是最为基本也是最重要的知识点之一，在不等式的证明中引入导数是一个重要的方法，可以解决很多不等式证明上的难题，拥有很高的技巧同时使用起来也是相当灵活。因此在高等数学的学习中利用导数证明不等式是一个重点，并且有助于其它知识的学习。本文中采用案例的方式通过对案例的证明展示如何使用导数证明不等式，进而帮助同学对这个方法的是实际运用有进一步理解。在本文中的案例都是十分经典的数学问题，在解答过程中主要展示了以下几种方法：函数单调性证不等式、函数凹凸性证不等式、微分中值定理的应用、函数极值与最值证不等式。
【关键词】
导数；不等式；微分中值定理；单调性；凹凸性；
【引言】
其中导数这个概念首先是被著名数学家费马提出的，其提出导数的目的在于方便研究极值问题，随着时代的发展，导数相关的内容成为了高等数学中最为主
要的内容。对于微积分而言，导数是一个最基本的知识点，同时在研究函数性质方面起到很大的作用，而且在处理实际问题方面应用较为广泛。改知识点主要包含了两部分内容，即中值定理以及应用。例如在不等式证明问题中，假如不等式形式繁琐，那么用初级的方法会出现计算量大或者无法分析的问题，而且还不一定能够证明出来；如果用导数分析不等式，将不等式视为函数，使用导数的方法，那么解答就要简单的多了。笔者在文中通过证明例题的方式，通过具体的证明过程向读者展示如何使用中值定理以及函数性质，进而体现了导数在不等式证明中的重要地位。
小学、初中和高中阶段均涉及了不等式的教学，其证明方法随着学生们知识 的增加,也呈现了很大的差异。在以往的学习中，通常使用放缩法、比较法、数学归纳法等基础方法证明不等式。通过对导数的学习以及理解，便可通过导数进行不等式证明,利用导数工具进行数学证明可以将不等式证明由难化简。不等式证明中可以利用导数判断函数的单调性、最值、凹凸性以及极值等内容,通过这些将不等式的证明结合起来,进而能够有效证明不等式成立。笔者在文中通过例题进行探讨如何在不等式的证明中使用导数的方法，进而为不等式的证明研究提供一定的借鉴。
1.应用微分中值定理证明不等式 对于微分中值定理而言，是一个完整的体系，依据具体的应用条件表现为不同的形式，例如罗尔定理主要用于证明零点问题、柯西定理本质为拉格朗日中值定理在两个不同的连续函数中的应用、泰勒级数等。其中证明不等式主要使用拉格朗日定理和柯西定理，泰勒级数应用也比较多。
1.1 利用拉格朗日中值定理证明不等式 定理 1（拉格朗日中值定理）
如果函数