立体几何是高考数学中的必考点，用传统的立体几何解决，过程复杂，难度较大.解题中往往一要作图，二要证明，需要较强的空间思维能力和逻辑思维能力.若能巧用向量，则思路简单，解法固定，简捷方便，可以不用作图直接计算或证明.下面列举几例进行说明，供大家参考.
一、巧用向量求空间距离
1.立体几何中的点面距离、线面距离、面面距离可用某一向量在法向量上的射影长d来求解，即公式d=解决.如图1，其中为A（或线、面上任一点）与平面α上的任意一点连线所构成的向量.
例1.（2012山东卷改编）在如图2所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF.求点F到平面AED的距离.
解：如图，过C作垂直于平面FCDE的直线为x轴，以DC，CF为y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系C-xyz.
设CF=CB=CD=1，则有：F（0，0，1），D（0，-1，0），B（，，0）.由等腰梯形ABCD，∠DAB=60°，CD=CB可得∠CDB=30°，于是∠ADB=90°，即AD⊥BD，而已知AE⊥BD，所以BD⊥平面AED，则为平面AED的法向量=（，，0）.
设向量在法向量上的射影长为d，即F到平面AED的距离，则：
d===.
2.立体几何中两点间的距离，可用向量模长公式来求解，即公式||=，这里的坐标为（x，y，z），表示所求线段的向量.
例2.（2011江苏卷）如图3，在正四棱柱ABCD-ABCD中，AA=2，AB=1，点N是BC中点，点M在CC上.设二面角A-DN-M的大小为θ，
（1）当θ=90°时，求AM的长；
（2）当cosθ=时，求AM长.
解：以DA、DC、DD分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，设CM=t（0≤t≤2），则各点坐标为：A（1，0，0），A（1，0，2），N（，1，0），M（0，1，t），所以=（，1，0），=（0，1，t），=（1，0，2），设平面DMN的法向量为=（x，y，z），
则·=0？摇？摇？摇？摇·=0
即：x+2y=0？摇？摇？摇？摇y+tz=0
令z=1，则y=-t，x=2t.
所以=（2t，-t，1）.
同理得平面ADN的一个法向量=（-2，1，1）.
因为θ=90°，所以·=0，
即-5t+1=0，得t=
从而M为（0，1，），所以=（-1，1，）
于是AM==
（2）因为||=，||=
所以cos==
因为=θ或π-θ，
所以||=，得t=0或t=
由图和结论（1）可知t=
即M的坐标为（0，1，）
所以=（-1，1，-）
于是AM==
二、巧设向量求空间角
1.异面直线a、b的夹角α，可利用两直线的方向向量，的夹角θ求解.由于α∈（0，]，因此cosα=|cosθ|=，即α=arccos.
例3.正方体ABCD-ABCD中，E在AD上，且3AE=2AD，求异面直线DB与EC所成角θ.
解：如图4，以DA，DC，DD为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz.
设正方体棱长为3，则各点坐标为：
D（0，0，3），B（3，3，0），E（1，0，0），C（0，3，0），
所以=（3，3，-3），=（-1，3，0）
故cosθ==
所以异面直线DB与EC所成的角θ=arccos.
2.直线与平面所夹的角如图5，为直线a的方向向量，为平面α的法向量，直线a与平面α所成的角为θ，则有：
Sinθ=|cos|，θ=-arccos
例4.如图6，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，PB⊥面ABCD，BA=BC=BP=2CD=2.求直线CP与面ADP所成角的大小.
解：如图，以BC、BA、BP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系B-xyz，则有A（0，2，0），C（2，0，0），D（2，1，0），P（0，0，2），
故=（-2，0，2），=（0，-2，2），=（-2，-1，2），
设平面ADP的一个法向量为=（x，y，z）
则有则·=0？摇？摇？摇？摇·=0
即：-2y+2z=0？摇？摇？摇？摇-2x-y+2z=0
令y=1，得z=1，x=
所以，=（，1，1）
设直线CP与平面ADP所成的角为θ，则
Sinθ=|cos|===
所以θ=arcsin
即直线CP与平面ADP所成角大小为arcsin.
3.求平面与平面所夹角，如图7，设平面α与平面β的法向量分别为，，所夹角为θ，则θ与法向量，的夹角相等或互补.
①当二面角α-l-β大于90°时，θ=π-arccos
②当二面角α-l-β不大于90°时，θ=arccos
例5.（2012新课标全国）如图8，直三棱柱ABC-ABC中，AC=BC=AA，D是AA的中点，DC⊥BD.
（1）证明：DC⊥BC；
（2）求二面角A-BD-C的大小.
解：（1）略.
（2）由（1）知BC⊥DC，且BC⊥CC，则BC⊥平面ACC，所以CA、CB、CC两两互相垂直.以CA、CB、CC分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系C-xyz.
设CA=1，则各点坐标为：
A（1，0，2），B（0，1，0），D（1，0，1），C（0，0，2），
所以=（0，0，-1），=（1，-1，1），=（-1，0，1），
设=（x，y，z）是平面ABBD的法向量
则·=0？摇？摇？摇？摇·=0
即：x-y+z=0？摇？摇？摇？摇z=0
令x=1，则y=1，于是=（1，1，0）
同理得平面CBD的法向量=（1，2，1）
从而|cos|==
故二面角A-BD-C的大小为30°.
三、巧用单位向量，求角平分线向量
如图9，求角平分线向量，可先求与角的两边所在射线同向的单位向量，，再利用菱形对角线平分一组对角的性质，结合向量加法原理可得角平分线向量=+.
例6.在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a，点E在PD上，且PE：ED=2：1，试问∠PBC的角平分线BF是否平行于平面AEC？证明你的结论.
解：由∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a，易得PA⊥平面ABCD，因此，以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴和z轴，过点A作垂直平面PAD的直线为x轴，建立如图10所示空间直角坐标系A-xyz，则有：
B（a，-a，0），C（a，a，0），P（0，0，a），E（0，a，a），
于是=（0，a，0），=（-a，a，a）
则的单位向量=（0，1，0）；的单位向量=（-，，）
所以∠PBC的角平分线BF的方向向量=+=（-，，）
设平面AEC的法向量为=（x，y，z），
则：·=0？摇？摇？摇？摇·=0
即：ay+az=0？摇？摇？摇ax+ay=0
解得：y=-x，z=2x
取x=，则=（，-3，6）
如果BF∥平面AEC，则·必等于0
而·=-×+×（-3）+×6=≠0
所以BF与平面AEC不平行.
