2020 年普通高等学校招生全国统考试 理科数学 注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若z=1+i，则|z 2 –2z|= A．0 B．1 C．2
D．2 2．设集合A={x|x 2 –4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a= A．–4 B．–2 C．2 D．4 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
A．5 14
B．5 12 C．5 14 D．5 12 4．已知A为抛物线C:y 2 =2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p= A．2 B．3 C．6 D．9 5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x（单位：°C）的关系，在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 ( , )( 1,2, ,20)i ix y i 得到下面的散点图：
由此散点图，在 10°C 至 40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是 A． ya bx
B．2y a bx
C． exy a b
D． ln y a b x
6．函数4 3( ) 2 f x x x 的图像在点 (1 (1)) f ， 处的切线方程为 A．2 1 y x
B． 2 1 y x
C．2 3 y x
D． 2 1 y x
7．设函数 ( ) cosπ( )6f x x 在 [ ] π,π 的图像大致如下图，则 f(x)的最小正周期为
A． 10π9
B．7π6 C．4π3
D．3π2 8．25( )( ) x xyxy 的展开式中 x 3 y 3 的系数为 A．5 B．10 C．15 D．20 9．已知
π ( ) 0, ，且 3cos2 8cos 5 ，则 sin
A．53
B．23 C．13
D．59 10．已知 , , A B C 为球 O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △ 的外接圆，若⊙1O 的面积为 4π ，1AB BC AC OO ，则球 O 的表面积为 A． 64π
B． 48π
C． 36π
D． 32π
11．已知⊙M：2 22 2 2 0 x y x y ，直线 l ：
2 2 0 x y ， P 为 l 上的动点，过点 P 作⊙M 的切线 , PA PB ，切点为 , A B ，当 | | | | PM AB 最小时，直线 AB 的方程为 A． 21 0 x y
B． 2 1 0 x y
C． 2 1 0 x y
D． 2 1 0 x y
12．若2 42 log 4 2loga ba b ，则 A． 2 a b
B． 2 a b
C．2a b D．2a b 共 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．若 x，y 满足约束条件2 2 0,1 0,1 0,x yx yy 则 z=x+7y 的最大值为
. 14．设 , a b 为单位向量，且 || 1 a b，则 || a b
. 15．已知 F 为双曲线2 22 2: 1( 0, 0)x yC a ba b 的右焦点，A 为 C 的右顶点，B 为 C 上的点，且 BF 垂直于 x轴.若 AB 的斜率为 3，则 C 的离心率为
. 16．如图，在三棱锥 P–ABC 的平面展开图中，AC=1， 3 AB AD ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则 cos∠FCB=
.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）
设 { }na 是公比不为 1 的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． （1）求 { }na 的公比； （2）若11 a ，求数列 { }nna 的前 n 项和． 18．（12 分）
如图， D 为圆锥的顶点， O 是圆锥底面的圆心， AE 为底面直径， AE AD ． ABC △ 是底面的内接正三角形， P 为 DO 上一点，66PO DO ．
（1）证明：
PA 平面 PBC ； （2）求二面角 B PC E 的余弦值． 19.（12 分）
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束. 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 20.（12 分）
已知 A、B 分别为椭圆 E：2221xya （a>1）的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，8 AG GB ，P 为直线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D ．
（1）求 E 的方程； （2）证明：直线 CD 过定点. 21．（12 分）
已知函数2( ) e x f x ax x . （1）当 a=1 时，讨论 f（x）的单调性； （2）当 x≥0 时，f（x）≥12x 3 +1，求 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sinkkx ty t (t 为参数 ) ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为 4 cos 16 sin 3 0 ． （1）当 1 k 时，1C 是什么曲线？ （2）当 4 k 时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标． 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知函数( ) |3 1| 2| 1| f x x x ． （1）画出( ) y f x 的图像； （2）求不等式( ) ( 1) f x f x 的解集．
2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案(A 卷) 选择题答案 一、 选择题 1．D 2．B 3．C 4．C 5．D 6．B 7．C 8．C 9．A 10．A 11．D 12．B 非选择题答案 二、 填空题 13．1 14．3
15．2
16．14
三、解答题 17．解：（1）设 { }na 的公比为 q ，由题设得1 2 32 , a a a
即21 1 12a a q a q . 所以22 0, q q
解得 1 q （舍去）， 2 q . 故 { }na 的公比为2 . （2）设nS 为 { }nna 的前 n 项和.由（1）及题设可得，1( 2) nna .所以 11 2 ( 2) ( 2) nnS n ， 2 12 2 2 ( 2) ( 1) ( 2) ( 2)n nnS n n . 可得2 13 1 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)n nnS n
1 ( 2)= ( 2) .3nnn
所以1 (3 1)( 2)9 9nnnS . 18．解：（1）设 DO a ，由题设可得6 3, ,6 3PO a AO a AB a ， 22PA PB PC a .
因此2 2 2PA PB AB ，从而 PA PB . 又2 2 2PA PC AC ，故 PA PC . 所以 PA 平面 PBC . （2）以 O 为坐标原点， OE 的方向为 y 轴正方向， | | OE 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz .
由题设可得3 1 2(0,1,0), (0, 1,0), ( , ,0), (0,0, )2 2 2E A C P . 所以3 1 2( , ,0), (0, 1, )2 2 2EC EP . 设 ( , , ) x y z m 是平面 PCE 的法向量，则00EPEC mm，即2023 102 2y zx y ， 可取3( ,1, 2)3 m. 由（1）知2(0,1, )2AP 是平面 PCB 的一个法向量，记 AP n ， 则2 5cos ,| || 5 n mn mn m|. 所以二面角 B PC E 的余弦值为2 55.
19．解：（1）甲连胜四场的概率为116． （2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛． 比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为116； 乙连胜四场的概率为116； 丙上场后连胜三场的概率为18． 所以需要进行第五场比赛的概率为1 1 1 3116 16 8 4 ． （3）丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18． 比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为116，18，18． 因此丙最终获胜的概率为1 1 1 1 78 16 8 8 16 ． 20．解：（1）由题设得 A（–a，0），B（a，0），G（0，1）. 则 ( ,1) AG a ， GB =（a，–1）.由 AG GB=8得a 2 –1=8，即a=3. 所以E的方程为29x+y 2 =1． （2）设C（x 1 ，y 1 ），D（x 2 ，y 2 ），P（6，t）. 若t≠0，设直线CD的方程为x=my+n，由题意可知–3<n<3. 由于直线PA的方程为y=9t（x+3），所以y 1 =9t（x 1 +3）. 直线PB的方程为y=3t（x–3），所以y 2 =3t（x 2 –3）. 可得3y 1 （x 2 –3）=y 2 （x 1 +3）. 由于22 2219xy ，故2 2 22( 3)( 3)9x xy ，可得1 2 1 227 ( 3)( 3) y y x x ， 即2 21 2 1 2(27 ) ( 3)( ) ( 3) 0. m y y m n y y n ① 将 xmy n 代入2219xy 得2 2 2( 9) 2 9 0. m y mny n
所以1 2229mny ym ，21 2299ny ym．
代入①式得2 2 2 2(27 )( 9) 2 ( 3) ( 3) ( 9) 0. m n m n mn n m
解得n=–3（含去），n=32. 故直线CD的方程为3=2x my ，即直线CD过定点（32，0）． 若t=0，则直线CD的方程为y=0，过点（32，0）. 综上，直线CD过定点（32，0）. 21．解：（1）当a=1时，f（x）=e x +x 2 –x，则 ( ) f x =e x +2x–1． 故当x∈（–∞，0）时，( ) f x <0；当x∈（0，+∞）时， ( ) f x >0．所以f（x）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增． （2）31( ) 12f x x 等价于3 21( 1)e 12xx ax x . 设函数3 21( ) ( 1)e ( 0)2xg x x ax x x ，则 3 2 21 3( ) ( 1 2 1)e2 2xg x x ax x x ax
21[ (2 3) 4 2]e2xx x a x a
1( 2 1)( 2)e2xx x a x . （i）若2a+1≤0，即12a ，则当x∈（0，2）时， ( ) g x >0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）=1，故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意. （ii）若0<2a+1<2，即1 12 2a ，则当x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g"(x)<0；当x∈(2a+1，2)时，g"(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7−4a)e −2 ≤1，即a≥27 e4. 所以当27 e 14 2a 时，g(x)≤1. （iii）若2a+1≥2，即12a ，则g(x)≤31( 1)e2xx x . 由于27 e 10 [ , )4 2 ，故由（ii）可得31( 1)e2xx x ≤1. 故当12a 时，g(x)≤1. 综上，a的取值范围是27 e[ , )4 .
22．解：（1）当 k=1 时，1cos ,:sin ,x tCy t 消去参数 t 得2 21 x y ，故曲线1C 是圆心为坐标原点，半径为 1的圆． （2）当 k=4 时，414cos ,:sin ,x tCy t 消去参数 t 得1C 的直角坐标方程为 1 x y ． 2C 的直角坐标方程为 4 16 3 0 x y ． 由1,4 16 3 0x yx y 解得1414xy ． 故1C 与2C 的公共点的直角坐标为1 1( , )4 4． 23．解：（1）由题设知13, ,31( ) 5 1, 1,33, 1.x xf x x xx x ( ) y f x 的图像如图所示．
（2）函数( ) y f x 的图像向左平移 1 个单位长度后得到函数( 1) y f x 的图像．
( ) y f x 的图像与( 1) y f x 的图像的交点坐标为7 11( , )6 6 ．
由图像可知当且仅当76x 时， ( ) y f x 的图像在 ( 1) y f x 的图像上方， 故不等式( ) ( 1) f x f x 的解集为7( , )6 ．