1 旋转 综合提升 1．如图，等腰直角△ABC 中，∠ABC=90°，点 D 在 AC 上，将△ABD 绕顶点 B 沿顺时针方向旋转 90°后得到△CBE. ⑴求∠DCE 的度数； ⑵当 AB=4，AD∶DC=1∶3 时，求 DE 的长. EDABC 2．(1)如图①所示，P 是等边△ABC 内的一点，连结 PA、PB、PC，将△BAP 绕 B 点顺时针旋转 60°得△BCQ,连结 PQ．若 PA 2 +PB 2 =PC 2 ，证明∠PQC=90°． (2) 如图②所示，P 是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连结 PA、PB、PC，将△BAP 绕 B 点顺时针旋转 90°得△BCQ,连结 PQ．当 PA、PB、PC 满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明理由. PQCAB
QABCP
图①
图②
2 3．设点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上滑动且保持∠EAF=45 0 ，AP⊥EF 于点 P （1）
求证：AP=AB， （2）若 AB=5，求 Δ ECF 的周长。
PFC DB AE
4．如图，正方形 ABCD，E、F 分别为 BC、CD 边上一点． （1）若∠EAF=45 º ．求证：EF=BE+DF． （2）若⊿AEF 绕 A 点旋转，保持∠EAF=45 º ，问⊿CEF 的周长是否随⊿AEF 位置的变化而变化？
（3）已知正方形 ABCD 的边长为 1，如果⊿CEF 的周长为 2．求∠EAF 的度数． EBCADF
3 5．如图，P 是正三角形 ABC 内的一点，且 PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB 的度数。
PBA C
6. 如图 P 是正方形 ABCD 内一点，点 P 到正方形的三个顶点 A、B、C 的距离分别为 PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形 ABCD 面积。
PA BD C 7.已知：P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PA+PB+PC 的最小值．
B CA DP
4 8.（1）如图 1，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E 在 BC 上，∠DAE=45°，为了探究 BD、DE、CE 之间的等量关系，现将△AEC 绕 A 顺时针旋转 90°后成△AFB，连接 DF，经探究，你所得到的 BD、DE、CE 之间的等量关系式是
．
FECABD （2）如图 2，在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC，D、E 在 BC 上，∠DAE=60°、∠ADE=45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究 BD、DE、CE 之间的等量关系，并证明你的结论． E DCBA
5 9.操作：在△ABC 中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边 AB 的中点 P 处，将三角板绕点 P 旋转，三角板的两直角边分别交射线 AC、CB 于 D、E 两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3 种情况，研究：
（1）三角板绕点 P 旋转，观察线段 PD 与 PE 之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．
（2）三角板绕点 P 旋转，△PBE 是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE 为等腰三角形时 CE 的长）；若不能，请说明理由．
EE EDPAPAPACB BCBCDD
图①
图②
图③
6 10.如图，在等腰 Rt△ABC 与等腰 Rt△DBE 中, ∠BDE=∠ACB=90°,且 BE 在 AB 边上,取 AE 的中点 F,CD 的中点G,连结 GF. （1）FG 与 DC 的位置关系是
,FG 与 DC 的数量关系是
； （2）若将△BDE 绕 B 点逆时针旋转 180°，其它条件不变,请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立? 请证明你的结论. BGFEB CADAC
11．如图①，△ABC 是正三角形，△BDC 是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60°角，角的两边分别交 AB 、 AC 边于 M 、 N 两点，连接 MN． （1）探究：线段 BM 、 MN 、 NC 之间的关系，并加以证明．
（2）若点 M 、 N 分别是射线 AB 、 CA 上的点，其它条件不变，再探线段 BM 、 MN 、 NC 之间的关系，在图②中画出图形，并说明理由．
DCNDCAB BAM
图①
图②
7 12．在平面直角坐标中，边长为 2 的正方形 OABC 的两顶点 A 、 C 分别在 y 轴、 x 轴的正半轴上，点 O 在原点.现将正方形 OABC 绕 O 点顺时针旋转，当 A 点第一次落在直线 y x 上时停止旋转，旋转过程中， AB 边交直线 y x 于点 M ， BC 边交 x 轴于点 N （如图）. （1）求边 OA 在旋转过程中所扫过的面积； （2）旋转过程中，当 MN 和 AC 平行时，求正方形 OABC 旋转的度数； （3）设 MBN 的周长为 p ，在旋转正方形 OABC 的过程中， p 值是否有变化？请证明你的结论. xyy=xNMCBOA
8 13．在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC 绕顶点 C 顺时针旋转，旋转角为 (0°＜ ＜180°)，得到△A 1 B 1 C． θ θθPEDB 1A 1B 1A 1B 1A AA 1ACBBCCB
图 1
图 2
图 3 (1)如图 1，当 AB∥CB 1 时，设 A 1 B 1 与 BC 相交于点 D．证明：△A 1 CD 是等边三角形； 【证】
(2)如图 2，连接 AA 1 、BB 1 ，设△ACA 1 和△BCB 1 的面积分别为 S 1 、S 2 ．求证：S 1 ∶S 2 ＝1∶3； 【证】
(3)如图 3，设 AC 的中点为 E，A 1 B 1 的中点为 P，AC＝a，连接 EP．当 ＝
°时，EP 的长度最大，最大值为
．
9 14．如图 2，已知∠ABC=90°，△ABE 是等边三角形，点 P 为射线 BC 上任意一点（点 P 与点 B 不重合），连结 AP，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60°得到线段 AQ，连结 QE 并延长交射线 BC 于点 F. （1）如图 1，当 BP=BA 时，∠EBF=
°，猜想∠QFC=
°； （2）如图 2，当点 P 为射线 BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明； （3）已知线段 AB= 3 2 ，设 BP= x ，点 Q 到射线 BC 的距离为 y，求 y 关于 x 的函数关系式． C C FQEFQPEBBAAP
图 1
图 2 15．如图 1，已知正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 DEFG 的边 DE 上，连接 AE、GC． （1）试猜想 AE 与 GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论． （2）将正方形 DEFG 绕点 D 按顺时针方向旋转，使点 E 落在 BC 边上，如图 2，连接 AE 和 CG。你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． FGBCEFB CADG DAE
图 1
图 2
10 16．如图，点 O 是等边 ABC △ 内一点， 110 AOB BOC ， ．将 BOC △ 绕点 C 按顺时针方向旋转 60 得ADC △ ，连接 OD ． （1）求证：
COD △ 是等边三角形； （2）当 150 时，试判断 AOD △ 的形状，并说明理由； （3）探究：当 为多少度时， AOD △ 是等腰三角形？ α110°DOAB C
17．如图，已知 A、B 是线段 MN 上的两点， 4 MN ， 1 MA ， 1 MB ．以 A 为中心顺时针旋转点 M，以 B 为中心逆时针旋转点 N，使 M、N 两点重合成一点 C，构成△ABC，设 x AB ． （1）求 x 的取值范围； （2）若△ABC 为直角三角形，求 x 的值；
11 18．一位同学拿了两块 45º三角尺△ MNK ，△ ACB 做了一个探究活动：将△ MNK 的直角顶点 M 放在△ ABC 的斜边 AB 的中点处，设 AC ＝ BC ＝a．
（1）如图（1），两三角尺的重叠部分为 ACM △ ，则重叠部分的面积为
， 周长为
． （2）将图（1）中的 MNK △ 绕顶点 M 逆时针旋转 45 ，得到图（2），此时重叠部分面积为
，周长为
． （3）如果将 MNK △ 绕 M 旋转到不同于图（1）和图（2）的图形，如图（3），请你猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证．
19．如图，P 是正方形 ABCD 内一点，连接 PA、PB、PC，将△ABP 绕点 B 顺时针旋转到△CBP′的位置． （1）旋转中心是点
，点Ｐ旋转的度数是
度； （2）连结 PP′，△BPP′的形状是
三角形； （3）若 PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°． ①求△BPP′的周长； ②求 PC 的长．
A B C M N K 图（1）
A B C M N K 图（2）
A B C M N K 图（3）
D G
12 20．（本题满分 14 分）在数学活动课中，小辉将边长为 2 和 3 的两个正方形放置在直线 l 上，如图①，他连结 AD、CF，经测量发现 AD＝CF． （1）他将正方形 ODEF 绕 O 点逆时针旋转一定的角度，如图②，试判断 AD 与 CF 还相等吗？说明你的理由； （2）他将正方形 ODEF 绕 O 点逆时针旋转，使点 E 旋转至直线 l 上，如图③，请你求出 CF 的长．
图 ①
图②
图③
21．操作：在△ABC 中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边 AB 的中点 P 处，将三角板绕点 P 旋转，三角板的两直角边分别交射线 AC、CB 于 D、E 两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的 3 种情况，研究：
（1）三角板绕点 P 旋转，观察线段 PD 与 PE 之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．
（2）三角板绕点 P 旋转，△PBE 是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE 为等腰三角 形时 CE 的长）；若不能，请说明理由．
13 BD ACNMBD AC MNBD AC MN22．已知：正方形 ABCD 中， 45 MAN ， MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB DC ， （或它们的延长线）于点 M N ， ． 当 MAN 绕点 A 旋转到 BM DN 时（如图 1），易证 BM DN MN ． （1）当 MAN 绕点 A 旋转到 BM DN 时（如图 2），线段 BM DN ， 和 MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． （2）当 MAN 绕点 A 旋转到如图 3 的位置时，线段 BM DN ， 和 MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
图 1
图 2
图 3
23、①如图①，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且∠EAF＝45
°，求证：EF ＝ BE＋FD． ②如图②，在四边形 ABCD 中，AB ＝ AD，∠B＝∠D＝90°，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且∠EAF是∠BAD 的一半，那么结论 EF ＝ BE＋FD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
14 25．在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，且∠EAF=∠CEF=45°．
（1）将△ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；
（2）若直线 EF 与 AB，AD 的延长线分别交于点 M，N（如图②），求证：EF 2 =ME 2 +NF 2 ；
（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段 EF，BE，DF之间的数量关系．
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