第七章
不等式、推理与证明 第一节
不等关系与一元二次不等式 [ 备考领航] 课程标准解读 考题印证 关联考点 核心素养 1. 了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式( 组) 的实际背景． 2. 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型． 3. 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 4. 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图 2020· 全国卷Ⅰ Ⅰ·T 2
1. 不等式的性质及应用． 2. 一元二次不等式的解法． 3. 一元二次不等 式 的 恒 成立问题 数学运算 、逻辑推理 2019· 全国卷Ⅰ Ⅰ·T 1
2019· 全国卷Ⅱ Ⅱ·T 1
2018· 全国卷Ⅰ Ⅰ·T 2
[ 重点准· 逐点清] 重点一
不等关系 1． ． 两个实数比较大小的方法 (1) 作差法 a －b ＞0 ⇔a ＞b， ，a －b ＝0 ⇔a ＝b ， a ，b ∈R ； ；a －b ＜0 ⇔a ＜b. (2) 作商法 ab ＞＞1 ⇔a ＞b ， a ＞0 ，b ＞0 ab ＝＝1 ⇔a ＝b ， a ∈R ，b ＞0 .ab ＜＜1 ⇔a ＜b. a ＞0 ，b ＞0 2． ． 不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a ＞b ⇔b ＜a ⇔ ⇔ 传递性 a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ⇒ ⇒ 可加性 a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ⇔ ⇔
可乘性
a ＞bc ＞0⇒ ⇒ac ＞bc 意 注意 c 的符号
a ＞bc ＜0⇒ ⇒ac ＜bc 同向可加性
a ＞bc ＞d⇒ ⇒a ＋c ＞b ＋d ⇒ ⇒ 同向同正可乘性
a ＞b ＞0c ＞d ＞0⇒ ⇒ac ＞bd ⇒ ⇒ 可乘方性 a ＞b ＞0 ⇒a n ＞ ＞b n ， ，(n ∈N N ，n ≥1) a ，b 同为正数 可开方性 a ＞b ＞0⇒ ⇒ n a＞ ＞ n b ，(n ∈N N ，n ≥2) [ 提醒]
同向不等式可相加，不可相减． [ 逐点清] 1.15 －2 ________16－ － 5 ( 填“>”“<” 或 “ ＝” ”) ． 解析：
分母有理化有15 －2 ＝＝ 5 ＋2， ，16－ － 5 ＝＝ 6＋ ＋ 5然 ，显然 5 ＋2< 6＋ ＋ 5 ，所以15 －2 <16－ － 5 . 答案：< 2 ．若－ π2 <α<β<π2 ，则 α －β 的取值范围是________ ． 解析：
由－ π2 <α<π2 ，－ π2 < －β< π2 ，，α<β ，得－π<α－ －β<0. 答案：( －π， ，0) 重点二
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式 Δ ＝b 2 － －4ac Δ＞ ＞0 Δ＝ ＝0 Δ＜ ＜0 数 二次函数 y ＝ax 2 ＋ ＋bx＋ ＋c (a ＞0) 的图象
程 一元二次方程 ax 2 ＋bx ＋c ＝0 (a ＞0) 的根 根 有两相异实数根 x 1 ，x 2 (x 1 ＜ ＜x 2 ) 根 有两相等实数根 x 1 ＝x 2 ＝－b2a
没有实数根 式 一元二次不等式 ax 2＋ ＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的 的解集 {x|x<x 1 或 或 x>x 2 } x x≠ ≠ －b2a R
式 一元二次不等式 ax 2＋ ＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的 的解集 {x|x 1 ＜ ＜x ＜x 2 } ∅ ∅
∅ ∅
[ 逐点清] 1 ．不等式(x ＋3)(1 －x) ≥0 的解集为________ ． 解析：(x ＋3)(1 －x) ≥0 ⇔(x ＋3)(x －1) ≤0 ，解得－3 ≤x ≤1 ，所以不等式的解集为{x|－ －3 ≤x ≤1} ． 答案：{x| －3 ≤x ≤1} 2 ．对于任意实数 x ，不等式 mx 2 ＋ ＋mx －1<0 恒成立，则实数 m 的取值范围是________． ． 解析：当 当 m ＝0 时，mx 2 ＋ ＋mx －1 ＝－1<0当 ，不等式恒成立；当 m ≠0 时，由 m<0， ，Δ ＝m 2 ＋ ＋4m<0， ，解得－4<m<0. 综上，m 的取值范围是( －4,0] ． 答案：( －4,0] [ 记结论· 提速度] [ 记结论] 1． ． 倒数性质的几个必备结论 (1)a>b ，ab>0⇒ ⇒ 1a <1b ；； (2)a<0<b⇒ ⇒ 1a <1b ；； (3)a>b>0,0<c<d⇒ ⇒ ac >bd ；； (4)0<a<x<b 或 或 a<x<b<0⇒ ⇒ 1b <1x <1a . 2． ． 两个重要不等式 若 若 a>b>0 ，m>0， ，则 则
(1) ba <b ＋ma ＋m ； ba >b －ma －m (b －m>0) ； (2) ab >a ＋mb ＋m ； ab <a －mb －m (b －m>0) ． 3． ． 简单分式不等式 (1) f x g x ≥≥0⇔ ⇔ f x g x ≥0， ，g x ≠0. (2) f x g x >0 ⇔f(x)g(x)>0. [ 提速度] 1 ．若 a>b>0 ，c<d<0 ，则一定有(
) A. ac － bd >0
B． ． ac － bd <0 C. ad >bc
D. ad <bc
解析：选 选 D
因为 c<d<0 ，所以 0< －d< －c ，又 0<b<a ，－bd< －ac ，即 bd>ac ，又 cd>0， ，bdcd >accd ，即 bc >ad . 2 ．已知全集 U ＝R ，集合 A ＝{x|x 2 － －x －6 ≤0} ，B＝ ＝ x 4 －xx ＋1 ≤≤0 合 ，那么集合 A ∩(∁ ∁ U B)＝ ＝________. ：
解析：为 因为 A ＝{x| －2 ≤x ≤3}， ，B ＝{x|x< －1 或 或 x ≥4} ，故∁ ∁ U B ＝{x| －1 ≤x<4} ，所以 A ∩(∁ ∁U B) ＝{x| －1 ≤x ≤3} ． 答案：[ －1,3]
不等式的性质及应用 [ 基础自学过关] [ 题组练透] 1 ．已知 a ，b ，c 满足 c<b<a ，且 ac<0 ，那么下列选项中一定成立的是(
) A ．ab>ac
B ．c(b －a)<0 C ．cb 2 <ab 2
D ．ac(a －c)>0 解析 ：选 选 A
由 由 c<b<a 且 且 ac<0， ，知 知 c<0 且 且 a>0. 由 由 b>c， ，得 得 ab>ac 一定成立． ． 2 ．设 a>b>1 ，c<0 ，给出下列三个结论：
① ca >cb ；② ②a c <b c ；③ ③log b (a －c)>log a (b －c) ．
其中所有正确结论的序号是(
) A． ．① ① B． ． ①② C． ． ②③ D． ． ①②③ 解析：选 选 D
由不等式性质及 a>b>1 ，知 1a <1b ，， 又 又 c<0， ， ∴ ca >cb ， ① 正确； 数 构造函数 y ＝x c ， ， ∵ ∵c<0， ， ∴y ＝x c 在 在(0 ，＋∞ ∞) 上单调递减， 又 又 a>b>1， ， ∴a c <b c ， ② 正确； ∵ ∵a>b>1 ，c<0， ， ∴a －c>b －c>1 ， ∴ ∴log b (a －c)>log a (a －c)>log a (b －c)， ， ③ 正确． 3 ．已知等比数列{a n }， 中，a 1 ＞ ＞0， ，q ＞0 ，前 n 项和为 S n ，则 S 3a 3 与 S 5a 5 的大小关系为________． ． 解析：当 当 q ＝1 时， S 3a 3 ＝＝3， ， S 5a 5 ＝＝5 ，所以 S 3a 3 ＜ S 5a 5 . 当 当 q ＞0 且 且 q ≠1 时， S 3a 3 － S 5a 5 ＝a 1 1 －q 3 a 1 q 2 1 －q －a 1 1 －q 5 a 1 q 4 1 －q
＝ q2 1 －q 3 － 1 －q 5 q 4 1 －q ＝ －q －1q 4＜ ＜0 ， 所以 S 3a 3 ＜ S 5a 5 . 综上可知 S 3a 3 ＜ S 5a 5 . 答案：
S 3a 3 ＜ S 5a 5
4 ．已知－1<x<4,2<y<3 ，则 x －y 的取值范围是________,3x ＋2y 的取值范围是________． ． 解析：
∵－ －1<x<4,2<y<3， ， ∴－ －3< －y< －2 ， ∴－ －4<x －y<2.由 由－ －1<x<4,2<y<3， ， 得－ －3<3x<12,4<2y<6 ， ∴ ∴1<3x ＋2y<18. 答案：( －4,2)
(1,18) [ 练后悟通] 比较大小的方法 (1) 作差法，其步骤：作差 ⇒ 变形 ⇒与 判断差与 0 的大小 ⇒ 得出结论； (2) 作商法，其步骤：作商 ⇒ 变形 ⇒与 判断商与 1 的大小 ⇒ 得出结论； (3) 构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小； (4) 赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．
一元二次不等式的解法
[ 定向精析突破] 向 考向 1
解不含参数的一元二次不等式 [例 例 1]
解下列不等式：(1) －3x 2 － －2x ＋8 ≥0 ； (2)0 ＜x 2 － －x －2 ≤4. [ 解]
(1) 原不等式可化为 3x 2 ＋ ＋2x －8 ≤0 ， 即 即(3x －4)(x ＋2) ≤0 ，解得－2 ≤x≤ ≤ 43 ，， 所以原不等式的解集为 x － －2 ≤x≤ ≤ 43. (2) 原不等式等价于 x 2 －x －2 ＞0， ，x 2 －x －2 ≤4⇔ x 2 －x －2 ＞0， ，x 2 －x －6 ≤0 ⇔ x －2 x ＋1 ＞0， ， x －3 x ＋2 ≤0⇔ x ＞2 或x ＜－1， ，－ －2 ≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，
原不等式的解集为 { } x| －2 ≤x ＜－1 或2 ＜x ≤3 . [ 解题技法] 的 解一元二次不等式的 4 个步骤
向 考向 2
解含参数的一元二次不等式 [例 例 2]
解不等式 ax 2 － －(a ＋1)x ＋1 ＜0(a ＞0) ． [ 解]
原不等式可变为(ax －1)(x －1) ＜0 ， 为 因为 a ＞0 ，所以 a x － 1a(x －1) ＜0. 当 所以当 a ＞1 ，即 1a <1 时，解为 1a ＜＜x ＜1 ； 当 当 a ＝1 时，解集为∅ ∅； ； 当 当 0 ＜a ＜1 ，即 1a >1 时，解为 1 ＜x ＜ 1a . 当 综上，当 0 ＜a ＜1 时，不等式的解集为 x 1 ＜x ＜ 1a； ； 当 当 a ＝1 时，不等式的解集为∅ ∅； ；
当 当 a ＞1 时，不等式的解集为 x 1a ＜x ＜1 . [ 解题技法] 含有参数的不等式的求解，往往需要比较( 相应方程) 根的大小，对参数进行分类讨论：
(1) 若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论； (2) 若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3) 其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． [ 跟踪训练] 1 ．已知不等式 ax 2 － －bx －1 ≥0 的解集是 － 12 ，－ 13式 ，则不等式 x 2 － －bx －a ＜0 的解集为________ ． 解析：
由题意知－ 12 ，－ 13 程是方程 ax 2 －bx －1 ＝0 的两根， 所以由根与系数的关系得 － 12 ＋ － 13＝ ba ，－ 12 × － 13＝－ 1a . 解得 a ＝－6， ，b ＝5， ， 式 不等式 x 2 －bx －a ＜0 即为 x 2 － －5x ＋6 ＜0 ，解集为(2,3) ． 答案：(2,3) 2 ．求不等式 12x 2 － －ax>a 2 (a ∈R R) 的解集． 解：为 原不等式可化为 12x 2 － －ax －a 2 >0 ， 即 即(4x ＋a)(3x －a)>0 ， 令 令(4x ＋a)(3x －a) ＝0 ，解得 x 1 ＝－ a4 ，x 2 ＝ a3 . 当 当 a>0 时，不等式的解集为 － ∞ ，－ a4∪ a3 ，＋∞ ∞ ； ； 当 当 a ＝0 时，不等式的解集为(－ － ∞， ，0) ∪(0 ，＋∞ ∞) ； 当 当 a<0 时，不等式的解集为 － ∞ ， a3∪ － a4 ，＋∞ ∞ .
一元二次不等式的恒成立问题 [ 定向精析突破] 向 考向 1
在 在 R 上的恒成 立问题
[例 例 3]
若不等式(a －2)x 2 ＋ ＋2(a －2)x －4<0 对一切 x ∈R R 恒成立，则实数 a 的取值范围是 是(
) A ．(－ － ∞， ，2]
B ．[ －2,2] C ．( －2,2] D ．(－ － ∞ ，－2) [ 解析]
当 当 a －2 ＝0 ，即 a ＝2 时，不等式为－4<0 对一切 x ∈R R 恒成立． 当 当 a ≠2 时，则 a －2<0， ，Δ＝ ＝4 a －2 2 ＋ ＋16 a －2 <0， ， 即 a －2<0， ，a 2 <4， ，解得－ －2<a<2. ∴数 实数 a 的取值范围是( －2,2] ． [ 答案]
C [ 解题技法] 一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax 2 ＋ ＋bx ＋c>0(a ≠0) 恒成立的充要条件是 a>0， ，b 2 － －4ac<0； ； (2)ax 2 ＋ ＋bx ＋c<0(a ≠0) 恒成立的充要条件是 a<0， ，b 2 － －4ac<0.
向 考向 2
在给定区间上的恒成立问题 [ 例 4]
若对任意的 x ∈[ －1,2] ，都有 x 2 － －2x ＋a ≤0(a 为常数) ，则 a 的取值范围是(
) A ．(－ － ∞ ，－3] B ．(－ － ∞， ，0] C ．[1 ，＋∞ ∞) D ．(－ － ∞， ，1] [ 解析]
法一：令 令 f(x) ＝x 2 － －2x ＋a ，则由题意，得 f －1 ＝ －1 2 － －2 × －1 ＋a ≤0， ，f 2 ＝2 2 － －2 ×2 ＋a ≤0， ，得 解得 a ≤－ －3 ，故选 A. 法二：当 当 x ∈[ －1,2] 时，不等式 x 2 － －2x ＋a ≤0 恒成立等价于 a ≤ －x 2 ＋ ＋2x 恒成立，则得 由题意，得 a ≤( －x 2 ＋ ＋2x) min (x ∈[ －1,2]) ．而－x 2 ＋ ＋2x ＝－(x －1) 2 ＋ ＋1 ，则当 x ＝－1 时，(－ －x 2 ＋ ＋2x) min ＝－3 ，所以 a ≤－ －3 ，故选 A. [ 答案]
A
[ 解题技法]
一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题
(1)若 若 f(x)>0 在集合 A 中恒成立，即集合 A 是不等式 f(x)>0 的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值( 或范围) ； (2) 转化为函数值域问题，即已知函数f(x) 的值域为[m， ，n] ，则f(x) ≥a 恒成立⇒ ⇒f(x) min ≥ ≥a， ，即 即 m ≥a ；f(x) ≤a 恒成立⇒ ⇒f(x) max ≤ ≤a ，即 n ≤a. 向 考向 3
给定参数范围求 x 的范围的恒成立问题 [例 例 5]
若对意 任意 m ∈[ －1,1] ，函数 f(x) ＝x 2 ＋ ＋(m －4)x ＋4 －2m 的值恒大于零，求 x 的 的取值范围． [ 解]
由 由 f(x) ＝x 2 ＋ ＋(m －4)x ＋4 －2m ＝ ＝(x －2)m ＋x 2 － －4x ＋4 ， 令 令 g(m) ＝(x －2)m ＋x 2 － －4x ＋4. 由题意知在[ －1,1] 上，g(m) 的值恒大于零， 所以 g －1 ＝ x －2 × －1 ＋x 2 － －4x ＋4>0， ，g 1 ＝ x －2 ＋x 2 － －4x ＋4>0， ， 得 解得 x<1 或 或 x>3. 故 故 x 的取值范围为(－ － ∞， ，1) ∪(3 ，＋∞ ∞) ． [ 解题技法] 求 给定参数范围求 x 范围的恒成立问题的解法 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
[ 跟踪训练]
1 ．设 a ＜0 ，(4x 2 ＋ ＋a)(2x ＋b) ≥0 在(a ，b) 上恒成立，则 b －a 的最大值为(
) A. 12
B. 13
C. 14
D.22 解析：选 选 C
当 当 a ＜b ＜0 时 时 ， ∀x ∈(a ，b) ，2x ＋b ＜0 ， 所以(4x 2 ＋ ＋a)(2x ＋b) ≥0 在(a ，b) 上恒成立， 可转化为 ∀x ∈(a ，b) ，a ≤－ －4x 2 ， ， 以 所以 a ≤－ －4a 2 ，所以－ 14 ≤≤a ＜0 ， 以 所以 0 ＜b －a ＜ 14 ；； 当 当 a ＜0 ＜b 时，(4x 2 ＋ ＋a)(2x ＋b) ≥0 在(a ，b) 上恒成立，
当 当 x ＝0 时，(4x 2 ＋ ＋a)(2x ＋b) ＝ab ＜0 ，不符合题意； 当 当 a ＜0 ＝b 时，由题意知 x ∈(a,0) ，(4x 2 ＋ ＋a)2x ≥0 恒成立， 以 所以 4x 2 ＋a ≤0 ， 所以－ 14 ≤≤a ＜0 ，所以 b －a≤ ≤ 14 . 综上所述，b －a 的最大值为 14 . 2 ．不等式(a －3)x 2 ＜ ＜(4a －2)x 对 对 a ∈(0,1) 恒成立，则 x 的取值范围是________ ． ：
解析：
由题意知(a －3)x 2 ＜ ＜(4a －2)x 对 对 a ∈(0,1) 恒成立等价于(x 2 － －4x)a －3x 2 ＋ ＋2x ＜0 对 对 a∈ ∈(0,1) 恒成立． 令 令 g(a) ＝(x 2 － －4x)a －3x 2 ＋ ＋2x ，当 x ＝0 时，g(a) ＝0 ，不满足题意． 当 当 x ≠0 时，则 g 0 ＝－3x 2 ＋ ＋2x ≤0， ，g 1 ＝ x 2 － －4x －3x 2 ＋ ＋2x ≤0， ， 得 解得 x ≤－ －1 或 或 x≥ ≥ 23 . 答案：(－ － ∞ ，－1]∪ ∪ 23 ，＋∞ ∞ [ 课时过关检测]
A 级—— 基础达标 1 ．已知 a ，b ∈R R ，若 a>b， ， 1a <1b 同时成立，则(
) A ．ab>0
B ．ab<0 C ．a ＋b>0 D ．a ＋b<0 解析：选 选 A
因为 1a <1b ，所以 1a － 1b ＝ b －aab<0 ，又 a>b ，所以 b －a<0 ，所以 ab>0. 2 ．已知 x>y>z ，且 x ＋y ＋z ＝0 ，下列不等式中成立的是(
) A ．xy>yz B ．xz>yz C ．xy>xz D ．x|y|>z|y| 解析：选 选 C
因为 x>y>z ，所以 3x>x ＋y ＋z ＝0,3z<x ＋y ＋z ＝0 ，所以 x>0 ，z<0 ， 由 x>0， ，y>z得 得 xy>xz. 故选 C. 3 ．不等式x2x －1 >1 的解集为(
) A. 12 ，，1 B ．(－ － ∞， ，1) C. － ∞ ， 12∪ ∪(1 ，＋∞ ∞) D. 12 ，，2
解析：选 选 A
原不等式等价于x2x －1 －－1>0 ， 即 x － 2x －1 2x －1>0 ，整理得x －12x －1 <0 ， 不等式等价于(2x －1)(x －1)<0 ，解得 12 <x<1. 4 ．若 1a <1b <0 ，给出下列不等式：
①1a ＋b <1ab ；② ②|a| ＋b>0； ；③ ③a－ － 1a >b－－ 1b ；④ ④ln a 2 >ln b 2 .其中正确的不等式的序号是(
) A． ． ①④ B． ． ②③ C． ． ①③ D． ． ②④ 解析：选 选 C
因为 1a <1b <0 ，故可取 a ＝－1 ，b ＝－2. 显然|a| ＋b ＝1 －2 ＝－1<0 ，所以 ②为 错误；因为 ln a 2 ＝ ＝ln( －1) 2 ＝ ＝0 ，ln b 2 ＝ ＝ln( －2) 2 ＝ ＝ln 4>0 ，所以 ④除 错误，综上所述，可排除 A、 、B 、D ，故...