白志峰：北京市特级教师，曾被评为全国优秀教师，现为首都师范大学全日制教育硕士特聘指导教师，通州区教师研修中心兼职教研员。白老师积极进行教育教学研究，在《数学通报》、《中学数学教学参考》等刊物先后发表论文五十余篇。
有这样一句名言：“当一个人把所学的知识都忘了以后，还能保留下来的正是教师要教给学生的。”保留下来的是什么呢？是思维素质，是能力。随着时间的推移，知识会被遗忘，而科学的思维能力却会长久地留存下来。
数学课堂教学中，不仅要传播知识与技能，而且要把培养学生的思维能力落到实处。与此同时，数学在培养人的坚强的意志品质方面，也有其他学科不可替代的作用。所以，注重培养学生的思维能力，使学生学会提出问题、分析问题、解决问题的科学方法，磨练锲而不舍的坚强意志，强化个性品质的培养，从而体现数学学科特色，实现数学的教育价值，成为我二十多年课堂教学中孜孜不倦的追求。
课前功夫是基础
一节课的目标定位是什么？以什么为载体？要让学生学会什么知识与技能？达到什么样的思维高度？提炼或渗透哪些数学思想？如何发挥学生的主体地位和教师的主导作用？不同层次学生的需求是什么？都需在课前作充分思考。将这些问题考虑清楚了，才能有成功的基础。
在“北京市高中新课程自主排课实验课例研讨会”上，我有幸作了一次主题为“实际背景下的位置关系”的观摩课。当时正值高三立体几何线面位置关系的基础复习之后，应该进行一些升华性的工作。于是我仔细研究了教材中的相关内容，发现人教社A、B两版教材中都有类似于“木工画线”这样的实际问题。解决这类问题既需要基础知识和基本技能，又需要注意实际问题的可行性。为此，我将教材中的一道习题经过改编后形成如下题目：
在一块四面体木料PABC中，M是面PAB内一点，木工师傅要经过M在平面PAB内画一条直线与PC垂直，该如何画？说明理由。
因为实际画线时，只能沿表面进行，所以看似简单的一道题目，解决起来绝非易事。经过反复思考，我发现这个问题不仅能激发学生的兴趣，而且所蕴含的基础知识、思想方法和数学思维十分广阔，有极其丰富的教育价值——
以退为进的思维切入点——退到特例：PC⊥平面PAB，由此向正确途径迈出了第一步。
分层递进的问题解决方法——特例的解决对一般情况的解决提供了有效的启发、帮助。可用螺旋上升的五种情况进行分层解决：∠APC和∠BPC都等于90°；∠APC和∠BPC有一个等于90°；∠APC和∠BPC都小于90°；∠APC和∠BPC都大于90°；∠APC和∠BPC一个小于90°，一个大于90°。
如何创新地解决一个陌生问题，需多问几个为什么：能否解决问题的一部分？特例是怎么解决的？对其他情形有参考价值吗？有的话，如何构建一个特例那样的模型？前一情况的解决，能为后一情况的解决提供参考吗？这正是科学研究的有效方法。
直觉思维与理性思维的融合——可以让学生体验“数学地”处理问题的思维方式。
分类讨论、转化化归、特殊到一般等重要的数学思想。
知难而进的数学精神——通过探究、否定、调整、类比、转化等手段，突破障碍，走出困境，找到正确的思路，进而培养学生勇于探索，知难而进，锲而不舍的意志品质。
课前的充分思考，使得我对教学目标有了合理定位，对教学方法有了整体把握。在实际教学中，我将自己的思考轨迹融入教学过程，学生兴趣盎然，积极主动，取得了显著的效果，受到与会者的一致好评。
课堂教学是关键
1. 让问题在课堂中闪光
著名数学教育家波利亚有一句话：“问题是数学的心脏。”古语有：“学起于思，思起于源。”学生探究知识的欲望往往从问题开始，一个耐人寻味的问题往往能激发学生思维的火花。有了问题，思维才有方向、才有动力。
在“直线的倾斜角与斜率”一节课中，我设置了如下的问题：
问题1.确定直线的几何要素有哪些？（两点）
问题2.如果只经过一点能确定一条直线吗？若不能，还需补充什么条件？（引入倾斜角）
问题3.用数学概念来刻画事物时，讲究准确与简洁，如何用数学语言准确描述倾斜角？（给倾斜角下定义）
问题4.倾斜角从“形”的角度刻画了直线的倾斜程度。那么，可否从“数”的角度刻画直线的倾斜程度？（引入斜率）
问题5.如果你是编书者，你怎么给直线的斜率下定义？
问题6.从几何角度看，两点确定一条直线，也就确定了直线的倾斜程度，即斜率。因为点对应着坐标，所以从代数角度看，已知两点的坐标，如何求直线的斜率？（探究直线的斜率公式）
我采取通过问题驱动的方式，引领学生从现有知识出发，进行思考、归纳、发现、抽象、总结，避免学生被动接受，思维始终处于活跃状态。通过“问题串”，引发了学生“看个究竟”的冲动，把握了“我们在干什么”的主线，突破了“怎么会想到它”的教学难点。学生参与归纳抽象得出概念，分析推导得出公式的整个教学过程，培养了学生思考问题的方式和解决问题的方法，突出了学生的主体地位。层层深入，步步为营，最后顺利地达成了教学目标，也较好地体现了课堂教学的实效性。我相信这对于学生学习兴趣的培养和思维能力的提高是大有裨益的。
2. 让思维在课堂中碰撞
课堂教学中应尽可能避免单纯由教师到学生的信息传播。要特别重视学生与学生之间的互动与影响，充分发挥他们之间的思维互补性。学生在研讨探究、补充交流、评价完善的环境中所获取到的知识和思维方法，是教师不能代替的。这就需要教师敢于放手发动学生，善于给学生留足适当的时间和空间。
在一次“等差数列”的复习课中，我设计了如下一道题目，让学生独立思考后，相互补充交流，最后由学生代表板演和讲解。
题目：已知an是等差数列，Sn是前n项的和，S5=28，S10=36，求S15。
生1：列方程组求出首项和公差——基本量法。这是基本方法和基本技能。 生2：因为是n的二次函数，利用待定系数法求解。这是函数观点，反映了学生认识上的跨越。
生3：利用等差数列性质——S5，S10-S5，S15-S10也成等差数列。
生4：转化构造，得到■也成等差数列。
生5：受生4的启发，可知5，■、10，■、15，■三点共线。
（生5沟通了数列与解析几何的联系。生4、生5在等差数列基本性质的基础上，加以联系、扩展，体现了更高层次的认知水平。）
表面看起来十分简单的一道题，经过学生的集体智慧，把隐藏的基本思路和基本规律，把知识的横向、纵向联系都挖掘了出来。学生的思维过程经过交流与展示得以相互学习，提高了学生对知识的本质理解和思维素质。而我的点评只有一句话：“理解越深刻，解法越简单。”不言自明。
3.让思维定势在课堂中突破
新知识的学习必然受到原有认识的制约，所以突破思维定势就显得至关重要。这时教师的主导作用就体现出来了。
如学生对曲线切线概念的理解有偏差：一是“在一点处的切线”与“过某一点的切线”不加区别；二是当直线与曲线只有一个公共点，便认为二者相切。
于是，在“导数的应用”一节课里，我出示了这样一个问题：
已知函数f（x）=■x3+■，求⑴过点的切线方程；⑵过点A2，■的切线方程。
对于⑴，学生将点A作为切点，用导数的方法，很快得出结论。殊不知，点A也可以不是切点，作为另一条切线上的已知点，用设切点的方法，可求出另一条切线。学生栽了跟头，便有了刻骨铭心的记忆。
对于⑵，学生也能很快得出结果，其中一条直线为y=■，通过画图，看出该直线将原曲线拦腰截成两段，便有疑问：这是切线吗？肯定不是！因为以往的切线都是与曲线“擦边”而过。在学生沾沾自喜地将其舍去时，我再追问：舍去的理由是什么？请同学们再次回忆切线的定义。原来问题出在对“切线是割线的极限位置”这一基本概念的理解上，而理解有误是因为初中学过：当直线与圆只有一个公共点时，该直线与圆相切，形成了思维定势。现在扩展到一般曲线了，就要对概念有更加全面准确的理解。这样通过诱导学生暴露其原有的思维框架，有效地突破了思维定势。
课后反思是台阶
教学永远是一门遗憾的艺术。善于进行教学反思，才可以更上一个台阶。螺旋上升，方可逐步形成自己的教学特色。反思什么？反思成功之处，反思不足之处，反思情景设计、教学策略、教学环节、目标达成、评价方法、教学效果、课堂灵感、再教设想，甚至反思教材不足……
总而言之，反思需积累，反思需坚持，反思是台阶，反思才有进步，反思才有创新。
记得刚参加工作不久，我代立体几何课。那时经常出现的问题是：课上学生的反应很好，但作业很差，证明问题逻辑关系不明，起初我简单地归罪为学生，后来发现还是课堂教学不到位，我只注重了学生的口头表达。
于是我做了如下反思，至今记忆犹新——
对于一个数学问题，想出来，可能一闪而过，可以有思维的跨越；说出来，需要表述清楚，要有逻辑性，可以有口头语；但写出来，就需要更加严密，需要用数学语言，有理有据。这是由低到高的三个不同的层次。好多情况下，你问学生会不会，他说会。但让他说出来，他便会发现“想”存在的问题，再要求他写出来，他又会发现“说”存在的问题。写出来，就是一种学术的形态，更高的层次。
我将这段话凝练为“想出来，说出来，写出来”，并且一直伴随我到现在。我常常在教学中用这九个字来要求学生，言传身教，乐此不疲。
□编辑 王宇华
教学是一门艺术，而数学教学是追求思维价值的艺术。如果数学课只是传授知识与技能，那就失去了数学教育的主要目标。高中数学应该提高学生的数学思维能力，使学生学会“数学地”处理问题的思维方式，为学生的终身发展打下坚实的基础，实现数学的教育价值。
——白志峰
通过白志峰老师的课，我们看到了一位教师在教材和教学内容方面的深刻功力：把教材看穿、吃透、挖掘出精髓后的“入木三分”、“一针见血”，因深刻而发人深省；独到：对教材真知灼见的“于平凡中间出新奇”、“发人之所未发，见人之所未见”，因独到而令人难忘。
——祁京生（北京市潞河中学副校长，数学特级教师）
白志峰老师课的显著特点是思维含量高。他善于挖掘教材并能提出真知灼见；善于从基础知识和基本技能出发，扩展学生的知识结构；善于挖掘知识的内在联系，充分发挥例题的教学功能；善于发挥学生的主观能动性并且给予哲理性的点评。足见其对于数学教育的本质理解和教学操作的智慧与积淀。
——王学一（北京市通州区教师研修中心数学教研员）
