问题：已知函数f（x）=ax3+bx2+cx（a，b，c∈R）在区间[0，1]上是增函数，在区间（-∞，0]与[1，+∞）上是减函数，且f ′（）=. （1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[0，m]（m>0）上恒有f（x）≤x成立，求实数m的取值范围.
第（2）问的解法：因为-2x3+3x2≤x，化简得x（2x-1）（x-1）≥0，解得0≤x≤或x≥1.因为在区间[0，m]（m>0）上恒有f（x）≤x成立，所以00）上恒有f（x）≤x成立，所以-2x3+3x2-x≤0对x∈[0，m]恒成立，即（-2x3+3x2-x）max≤0，x∈[0，m].
令g（x）=-2x3+3x2-x，则g′（x）=-6x2+6x-1，若g′（x）=0，解得x=，所以g（x）在（-∞，）和（，+∞）递减，在（，）递增，又g（0）=0，故g（x）大致图像如下（如图1），由图像知00时，cosθ=；当t<0时，cosθ=-.因此，cos2θ=2cos2θ-1=-1=-.
解法2：因为终边在直线y=2x上，所以tanθ=2，因为cos2θ=cos2θ-sin2θ===-.
注：解法2是注意到了直线斜率与倾斜角正切值的关系，并利用了余弦二倍角公式和“化弦为切”得到的.
（作者单位：浙江省绍兴县越崎中学）
责任编校 徐国坚
