摘 要：对国债利率期限结构的研究一直是金融学的重要课题之一。本文结合中国国债市场的特点，从新的视角提出了Nelson-Siegel扩展模型，即通过增加多项式的阶数来扩展Nelson-Siegel模型。通过对上海证券交易所国债数据的实证分析，证明了当扩展阶数为4时，该新扩展模型对国债利率期限结构的拟合效果优于常用的Nelson-Siegel模型和Svensson模型。
关键词：国债利率；利率期限结构；利率曲线拟合
中图分类号：F224 文献标识码：A 文章编号：1003-9031（2012）11-0029-04 DOI：10.3969/j.issn.1003-9031.2012.11.06
一、引言
在国民经济运行中，利率是重要的货币政策工具之一；在金融市场中，利率是金融资产定价、金融套利、套期保值、金融风险管理、金融衍生产品设计等的重要决定变量之一。因此，研究利率的走势和变化趋势具有重要的意义和作用。在所有的金融产品中，国债以国家的信誉为保障，具有发行量大、流动性好、安全边际高等特点，国债利率在发达国家一直是确定市场利率的重要基准利率，也是各国中央银行用来调控宏观经济的重要工具之一。
二、文献和理论综述
利率期限结构模型是人们为了研究未来利率的趋势所提出的预测利率的理论。利率期限结构是指债券的到期收益率与到期期限之间的关系，其中债券的到期收益率一般用零息票债券的连续复利即期利率来表示[1]。传统的利率期限结构理论主要侧重定性分析，主要有预期理论和市场分割理论[2]。由于传统的利率期限结构理论的弊端，即无法精确预测和拟合利率未来的走势，后来人们更多地结合数学知识来研究利率期限结构，提出了样条函数模型、Nelson-Siegel参数拟合模型、CIR模型和仿射模型等[3]。
样条函数法首先由Culloch（1971，1975）提出，他用多项式样条函数作为贴现函数来构建利率期限结构模型。Nelson-Siegel（尼尔森-辛格尔）模型，又称简约模型，是由Nelsen和Siegel（1987）提出，后Svensson（1994）进行了扩展，该模型是通过参数化远期利率函数的方法进行利率期限结构拟合的。CIR模型和仿射模型属于动态模型，其采用随机微分方程来刻画利率的变化，然后利用参数或非参数估计得到利率的动态变化过程。本文研究的新扩展模型是在简约模型的基础上扩展的。
三、模型构建
（一）Nelson-Siegel模型
Nelson-Siegel模型是Nelsen和Siegel提出的一个用参数表示的瞬时远期利率函数，然后用即期利率与远期利率间的关系推导出即期利率，实现对利率期限结构的构造。具体来说，Nelson-Siegel模型假定远期利率关于时间的函数形式为
其中，t为到期期限。
根据远期利率与贴现因子之间的关系，即
可将贴现因子表示出来，这样国债的理论价格就可以表示为
P"K=PK+？滓K
其中CtK表示t时刻国债的现金流，P"K表示债券交易价格。
通过适当的优化算法求解以下最小化问题，即可求出该模型的参数值。
再根据即期利率与远期利率之间的关系
由（1）和（5）式可以推导出即期利率表达式为
（二） Nelson-Siegel模型的扩展Svensson模型
Nelsen和Siegel提出的模型估计的参数较少，模型计算的结果比较稳健，能够拟合出正常、逆转、驼峰等利率曲线的形态，因此该模型得到了广泛的应用。但该模型仍存在不足之处，即其不能反映利率曲线的多峰形态，随着金融市场的发展和国债发行数量的逐渐增加，该问题越来越突出[4]。后来人们改进了Nelson-Siegel模型，提出了新的更为复杂的模型-Svensson模型，即在Nelson-Siegel模型的基础上增加了两个参数，将远期利率表示为
该模型表达式添加了两个参数，使模型在利率期限结构曲线拟合效果上有了较大的提高，能够拟合出曲线的多峰形态，曲线的灵活性、复杂性增加，拟合的精度也有了较明显的提高。因此，该扩展模型已被多国中央银行列为本国利率期限结构估计的官方选用方法[5]。
（三）新视角下的Nelson-Siegel扩展模型
Svensson模型是在自然指数的指数部分增加参数，进而扩展了Nelson-Siegel模型。本文将在另一个角度对Nelson-Siegel模型进行扩展，即将远期利率的表达式扩展为
四、实证分析
（一）样本选取
1981年恢复国债发行以来，我国国债发行和交易规模逐步扩大，国债的发行和交易机制逐步与国际接轨，国债发行和交易的市场化程度逐步提高，为形成中国市场利率提供了重要基准参考，为深入研究中国的利率期限结构提供了良好的基础。目前，我国市场化程度较高的国债交易场所主要有上海深圳证券交易所和银行间债券市场。其中，银行间债券市场的交易商为银行，单笔交易规模过大，交易间隔较长，流动性较差，而交易所国债市场则交易主体多元化，交易活跃，流动性强，国债交易价格具有连续性。因此，在本文中，我们从交易量较大、国债交易品种较为齐全的上海证券交易所选取国债样本。笔者选取上海证券交易所2012年3月12日至2012年4月13日，存在交易的附息固定票面利率国债的周收盘数据（即每周五的收盘数据）作为样本来进行实证分析。
（二）新视角下Nelson-Siegel扩展模型的中国国债样本实证分析
为了验证理论分析结果，本文通过逐渐增加高阶多项式的阶数和模型参数的个数，利用上交所国债样本数据实证比较新扩展模型的拟合能力和精度。式（8）中，随着多项式阶数（即n）的增加，新扩展模型在拟合利率期限结构时计算量会逐渐增大。为了减小计算量，本文选取具有代表性的三种情况，即n=2，n=3和n=4，分析在这三种情况下，新扩展模型的拟合性质。 将5个样本日的国债样本的数据代入以上三个新扩展模型的参数表达式，表达出带参数的各国债的理论价格，之后就可以将求解模型中参数的问题转化为：使理论价格和实际交易价格最接近的最优化问题。本文通过SAS软件编程，利用搜索算法，估计出了各模型中参数的具体数值，进而估计出了各模型的即期利率曲线表达式。利用Matlab软件绘制的每个模型的即期利率曲线为图1-图3。
拟合出利率期限结构曲线后，将各模型的拟合价格求出，对拟合误差进行统计，来比较各模型的拟合精度。本文利用了均方根误差（RMSE）、均方根百分比误差（RMSPE）和判定系数（R2）三个衡量精度的指标来比较各模型的拟合精度。
1.均方根误差
均方根误差指标为对拟合误差绝对量的衡量，其数字越小代表模型的拟合误差越小，拟合能力越强。
2.均方根百分比误差
均方根百分比误差是与均方根误差相对应的，其为相对量衡量指标。数字越小代表模型的拟合能力越强。
3.判定系数
在回归分析中，判定系数用来比较相关曲线的拟合优度，在本文中，我们用判定系数的概念来说明拟合预测价格对实际交易价格的拟合优度。其数值越大代表模型的拟合预测能力越强。
统计比较结果为表1。
通过表1的统计数据可以看出：本文提出的新视角下Nelson-Siegel扩展模型（n=2，n=3和n=4），随着远期利率表达式中模型参数的增加和高阶多项式阶数的增加，新扩展模型的国债价格拟合精度指标RMSE、RMSPE依次逐渐降低，R2指标的数值依次逐渐增大，这说明通过增加模型中参数的个数和多项式的阶数可以提高拟合精度，通过提高模型曲线的形态复杂度可以更加近似地拟合真实利率曲线。其中，当n=4时，在新扩展模型的五个样本交易日国债价格拟合精度指标中，RMSE指标分别为0.53991、0.43197、0.68613、0.51550、0.41994，RMSPE指标分别为0.00536、0.00417、0.00668、0.00504、0.00415，判定系数分别为0.95562、0.97140、0.94700、0.96774、0.97817，除2012年3月30日外其他样本交易日均为所有模型中拟合精度最高的，拟合精确度高于Svensson模型，这说明在对真实国债利率期限结构曲线拟合上，本文提出的新视角下Nelson-Siegel扩展模型（当n=4时）具有一定的优势，其能较好的降低利率期限结构的拟合预测误差。由于对利率期限结构的拟合预测广泛应用于政府货币政策的决策和金融产品如国债的定价、交易，利率拟合的准确度直接决定了定价的合理性和交易的可行性，因此本文提出的新视角下Nelson-Siegel扩展模型（当n=4时）具有较大的应用价值。
（特约编辑：罗洋）
参考文献：
[1]Bali T.G. An Empirical Comparison of Continuous Time Models of the Short Term Interest Rate， The Journal of Futures Markets 1999（19）.
[2]林海，郑振龙.利率期限结构研究述评[J].管理科学学报，2007（1）.
[3]Jordan J V ，Mansi S A， Term Structure Estimation from on-the-run Treasuries ，Journal of Banking and Finance，2003（27）.
[4]傅曼丽，屠梅曾，董荣杰.债券利率期限结构的构造方法与实证检验[J].系统工程理论方法应用，2006（1）.
[5]康书隆，艾广青.中国国债利率期限结构估计——基于面板数据的两步法[J].财经问题研究，2010（6）.
