董 军，杜晓林*，崔国龙，余显祥，田团伟
(1. 烟台大学计算机与控制工程学院 山东 烟台 264005；
2. 电子科技大学信息与通信工程学院 成都 611731；
3. 河南大学物理与电子学院 河南 开封 475001)
认知雷达是近年来提出的一种新的雷达系统概念，与传统雷达不同，面对复杂环境，认知雷达的发射机可以根据之前所获得的先验知识自适应调整发射波形，实现与环境和干扰的匹配，从而提高雷达性能。发射波形的优劣会直接影响认知雷达的系统性能[1-4]。文献[5-12]依据互信息(mutual information,MI)准则或信干噪比(signal-to-interference-plus-noise ratio, SINR)准则在各种实际的约束条件下开展了波形设计的研究，取得了丰富成果，但以上方法并未针对智能目标进行研究。在现代电子战环境中，干扰机有实时捕获雷达波形参数和精准干扰的能力，雷达能够自适应优化其发射信号，雷达和干扰之间存在真实博弈，干扰信号作用于空间、时域、频域、能量域，形成的干扰场景复杂、样式多样，对雷达探测距离、精度、分辨率等能力的削弱愈加明显。因此，如何在博弈背景下设计波形应对干扰并提升雷达性能是当前面临的严峻挑战。
博弈论是模拟雷达和干扰机之间敌对关系的有效理论依据[13-20]。文献[13]首先基于MI 准则提出了针对Stackelberg 博弈的波形优化策略。文献[14]以最小均方误差(minimum mean square error,MMSE)作为目标函数，提出了基于MMSE 的Stackelberg 博弈的干扰优化策略。文献[15]研究了多输入多输出雷达的天线功率如何在信息获取不完全的Bayesian 博弈中分配的问题。文献[16]基于MI 准则建立递阶对策模型，提出了一种鲁棒发射波形设计方法，但未论证其模型的优越性。文献[17]推导论证了纳什均衡解的存在性，并基于SINR 准则利用多次迭代注水法求解了博弈条件下的波形设计问题，但该算法计算复杂度较高。文献[18]研究了单基地雷达和干扰机基于MI 准则的博弈策略设计问题，采用泰勒近似的方法将迭代注水法所需求解的两个拉格朗日乘子减少到一个，从而降低了算法复杂度，但忽略了杂波这一重要因素。文献[19]采用粒子群算法来规避求解Stackelberg 平衡中涉及的两个拉格朗日乘子计算，但也未考虑杂波的影响。文献[20]基于MI 准则，采用最大边缘分配(maximum marginal allocation, MMA)算法来求解杂波条件下雷达与干扰机间的均衡博弈策略问题，但该算法易陷入重复博弈困境。
在上述研究基础上，本文研究了在杂波背景下，基于加权准则的雷达与干扰机间的博弈波形设计问题。首先建立认知雷达与干扰之间的二元零和博弈模型，然后分别分析了基于SINR 准则与MI 准则的博弈波形设计模型，据此设计出基于加权准则的非合作均衡博弈模型，并提出最大边缘重分配算法进行求解，最后仿真实验验证了本文方法的有效性。
1.1 信号模型
假设x(t) 是 时宽为T、带宽为W的雷达发射信号，y(t)为 接收信号。h(t)为单一或扩展随机目标的脉冲响应在有限时间Th内 的随机过程，杂波c(t)为非高斯随机过程，n(t)和j(t)分别表示噪声和干扰信号，r(t)为 接收滤波器脉冲响应，设T远大于Th，即低通滤波器持续时间相对较短，可忽略其影响。
图1 给出了发射-接收信号模型图，雷达接收信号为[13-18]：
式中，“*”代表卷积。此外，x(t) 、h(t) 、r(t)的傅里 叶 变 换 分 别 为X(f)、H(f)、R(f)；
c(t)、n(t)和j(t)的功率谱密度(power spectral density, PSD)分别为Scc(f)、Snn(f)和Pj(f)。
由于h(t)是一个持续时间有限的随机过程，能量有限，所以并非是真正的平稳高斯随机过程。因此，其PSD 不能用来描述目标的散射特性，但可以使用能量谱密度(energy spectral density, ESD)来描述[14-20]，ESD 定义为：
1.2 检测理论
图1 发射-接收信号模型
1.3 MI 准则博弈波形设计
假定目标与雷达接收信号之间的互信息为[22]：
相反，为了减小雷达所获得的互信息量，干扰机对如下模型进行优化，得到干扰波形：
由式(7)和式(8)可得，雷达与干扰机是冲突对立的，因此双方可构成非合作二元零和博弈模型，一方策略改变将使另一方策略随之改变，最终双方将在不断争取最优利益的博弈中达到纳什均衡，此时雷达与干扰机双方发射的都是各自收益的最优波形。文献[17-18]都对纳什均衡解进行了理论推导，并证明了其存在性与收敛性。
1.4 SINR 准则博弈波形设计
假设雷达回波信号y(t)中 信号分量为ys(t)，干扰分量为yj(t) ， 则t0时刻SINR 频域表达式为[24]：
同理，式(11)和式(12)所描述的问题也构成了二元零和博弈模型。
1.5 加权准则博弈波形设计
根据上述的波形设计准则，构造如下波形设计问题：
式(13)和式(14)均是在相同能量约束下的多准则最大化问题。通常，同时使得多个目标函数达到最优的可行解基本不存在。受到凸优化理论中标量化技术的启发[25]，本文引入权重因子 λ ∈[0,1]，通过λ 控制MI 准则和SINR 准则两个目标函数的相对权重，将问题转化为权重单目标优化问题，从而可得Pareto 最优解。多目标优化问题式(13)和式(14)可转化为如下权重单目标优化问题：
显然，式(17)和式(18)所描述的问题也是二元零和博弈模型。
针对式(17)和式(18)中所描述的问题，本文对MMA 算法[26]进行改进，提出最大边缘重分配(maximum marginal reallocation, MMR)算法来求解。
2.1 MMR 算法原理
MMR 算法的逻辑是在约束条件下，将投入给低收益活动的资源回收并重新投入给更高收益的活动，最终达到最优效果。首先，给出定义：
2.2 MMR 算法求解均衡博弈波形设计问题
为求解式(17)和式(18)中的博弈波形设计问题，首先将加权准则离散化：
令：
将umax离 散等分成M份，最小单元为 Λ，即umax=MΛ，u(k)的 取 值 范 围 为 {0,Λ,2Λ,···,MΛ}。MMR 算法每一次都对 Λ单位的能量回收或重分配，最终将 Λ单位的能量分配给获得最大准则收益的频段，当所有的能量都重分配完，获得的目标与回波之间准则收益最大。
对所有k值，回收阶段均选择Lλ(u(k),k)中的最小值Lλ(u(kmin),kmin) ， 对u(kmin)回 收 Λ能量，在下一次能量分配之前更新Lλ(u(k),k)，直至整个能量回收过程结束；
重分配阶段再选择Lλ(u(k),k)中的最大值Lλ(u(kmax),kmax)， 将 Λ能 量分配给u(kmax)，在下一次能量分配之前更新Lλ(u(k),k)，直至整个能量重分配过程结束，此时得到的结果即为目标与回波之间的最大准则收益，且对不同的k值，在各频段分配的能量u(k)就是最优发射波形的能量谱。
综上所述，MMR 算法的流程如下。
假设雷达工作中心频率为35 GHz，发射信号带宽W=100 MHz，定义能量分配份数M=20 000，观测时间T=10 ms。没有特殊说明情况下，发射机与干扰机功率均为20 dBW，并将全频带划分为5 个子频带，定义目标脉冲响应和模拟起伏地杂波分别为 {σ2h(fk)}={1.3,3.0,5.0,7.0,4.0}， {Scc(fk)}={1.2,2.0,1.5,1.0,0.8}， 下标k=1,2,···,5，对应5 个不同子频带，定义接收机噪声Snn(fk)={1,1,1,1,1}[16-18,20]。
3.1 算法性能比较
假设MMR 算法的回收份数R=M/10，即每次重分配能量为1/10 总功率，且实验以各频带能量分配相同的状态作为初始波形。图2 为MMA 算法与MMR 算法性能对比，表1 给出了运行1 000 次取平均下的博弈时间对比结果(计算机处理器为i5-8300H@2.3 GHz，内存为8 GB)。联合图2a 和表1可知，在SINR 准则下，虽然MMR 算法达到纳什均衡所需博弈次数比MMA 算法多了两次，但是最终所得的SINR 基本相同，且由于MMR 算法每次博弈所需计算较少，总体计算时间降低，计算效率提升约20%。图2b 表明在MI 准则下，MMR 算法相比于MMA 算法可以得到更加精炼的纳什均衡解。
表1 SINR 准则博弈时间对比结果
图2 MMA 算法与MMR 算法计算纳什博弈结果
3.2 固定干扰功率性能分析
图3 为本文所提加权准则与SINR 准则的对比。图中加权准则所采用的权重λ 为0.85，SINR准则对应λ=0 的加权模型，由图可知达到纳什均衡时，加权准则的SINR 明显优于SINR 准则，SINR提升了约0.283 dB。
图3 两种准则SINR 对比图
图4 为线性调频与各准则博弈达到纳什均衡时，雷达与干扰机各子频带功率分配情况。当雷达发射线性调频信号时，各频带功率分布平稳，雷达没有针对干扰进行波形优化，没有与干扰进行博弈，即无博弈模式。由图4 可以看出，在SINR 与加权准则下，为了争夺性能，具有更高目标杂波比(target-to-clutter ratio, TCR)[28]值的4、5 子频带更受雷达与干扰机双方的青睐，双方都倾向于向其倾注能量，向高TCR 子频带倾注能量带来增益的同时，低TCR 频段削减能量也会带来损失。基于SINR 准则博弈中，雷达在高TCR 子频带上增益明显，但在低TCR 子频带的损失过大，最终导致收益不高；
在加权准则博弈下，雷达在低TCR 的1、2 子频带保留分配了更多能量，干扰只好向高TCR 频段倾注更多的能量来抑制发射机在这些子频带上的性能，使雷达获得了更大的性能收益。由于双方在不同权重下雷达功率分配方式有所不同，这将导致博弈中干扰机的分配策略也相应改变。与SINR 准则分配策略相比，加权准则下雷达的功率分配策略较平滑，减少了向高TCR 频带投入的能量，而干扰机为了更好地压制雷达只能将能量投入高TCR 频带以求更好地降低SINR 值，降低了对低TCR 频带上的能量分配，从而导致最终加权准则的整体SINR 比SINR 准则高，这是双方经过博弈的最终结果。
图4 信号功率分配策略
3.3 加权准则权重分析
图5 给出了对加权因子的分析。分析图5a 可得，当λ 靠近0.50 时易于陷入重复博弈，λ 在0～0.50 时，SINR 性能有所下降。而图5b 表明，在博弈背景下，不同的λ 对于MI 达到纳什均衡时的数值影响较小。因此，在博弈达到纳什均衡的前提条件下，综合SINR 性能和MI 性能作为评定指标，λ=0.85 时综合性能最佳。
图5 加权准则权值分析图
3.4 干扰功率变化时性能分析
考虑到干扰机功率对雷达性能的影响，本文假设雷达发射机功率为20 dBW，干扰机功率变化范围按比例设定为1～30 dBW 进行分析。
图6 和图7 分别展示了基于SINR 准则和加权准则达到纳什均衡时雷达与干扰各子频带功率分配随干扰功率变化的情况。由图6a 和图7a 可知，当干扰功率过低时，杂波为SINR 性能的主要影响，随着干扰功率的升高，干扰代替杂波成为主要影响；
干扰倾向于向TCR 高的频带倾注能量，且加权准则下干扰对于高TCR 频带所倾注的能量更多，这是由3.2 节所分析过的加权准则雷达博弈策略所导致的，雷达在高TCR 频带上减少的能量并没有使干扰机的重点压制频带转变。由图6b 和图7b 可看出，当雷达功率较之干扰功率处于优势时，干扰在高TCR 子频带上并未造成重大影响，雷达可以依据子频带TCR 的高低来决定分配策略，随着干扰功率的升高，雷达逐渐难以从被干扰大量盘踞的高TCR 子频带上获取信息，所以雷达将功率向TCR 相对较低的子频带转移，希望能够在这些子频带中获取目标信息，最大化SINR。
图6 SINR 准则-纳什均衡功率分配策略
图7 加权准则-纳什均衡雷达功率分配策略
图8 展示了在不同干扰功率下，线性调频与各准则博弈达到纳什均衡时的雷达检测性能对比。由图8 可以看出，双方功率的比值大小对检测性能结果造成了巨大影响。当雷达功率占据绝对优势时，博弈波形的检测性能优势较小；
随着干扰功率逐渐增大，线性调频与博弈波形的雷达检测性能都呈现出明显下降，但加权准则的检测性能下降幅度较低，这点在干扰功率占据绝对优势时尤为明显，这证明加权准则博弈波形设计具有较强的抗干扰能力，且对比线性调频方法检测概率最高可提升14.970%，平均提升4.312%，较SINR 准则平均提升4.269%。
图8 不同准则策略间雷达检测概率变化
本文针对雷达与干扰间的博弈波形设计问题进行了研究。基于博弈论与标量化技术，设计了MI和SINR 的加权准则，依据加权准则建立了一种博弈雷达波形优化设计模型，并提出MMR 算法对上述问题进行求解。仿真实验验证了所提出的加权准则和MMR 算法具有一定的优越性，相较于MMA算法，本文算法的计算效率提升了约20%。
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