摘要：贝叶斯最大熵方法（bayesian maximum entropy，简称BME）是现代时空地统计学的重要组成部分。该方法采用统计学中的贝叶斯理论和信息论中熵的概念来认识和处理时空变量，可以将所研究时空要素的软数据和硬数据系统合理地综合到对该要素的空间估计和分析制图过程中。本文首先结构化梳理贝叶斯最大熵方法的原理，对理论较深奥、公式较复杂的贝叶斯最大熵方法及该方法的特点加以概括，同时归纳与总结贝叶斯最大熵方法在地球科学领域内多个方向的应用研究进展，最后对该方法及其应用作总结与展望。经国内外学者多年的研究和实践，贝叶斯最大熵方法已被证明在地球科学领域有着更广阔的应用前景。
关键词：贝叶斯最大熵；地统计学；时空估计；软数据；硬数据
中图分类号： S127；S11+9 文献标志码： A 文章编号：1002-1302（2017）18-0011-06
收稿日期：2016-04-19
基金项目：国家自然科学基金（编号：91125002、41531174）。
作者简介：高胜国（1986—），男，山西忻州人，博士，讲师，研究方向为定量遥感、农业统计遥感。E-mail：cugbgaoshengguo@126.com。
通信作者：朱忠礼，博士，副教授，研究方向为遥感水文。E-mail：zhuzl@bnu.edu.cn。 贝叶斯最大熵（Bayesian maximum entropy，简称BME）方法是现代时空地统计学的重要组成部分。地表自然生态系统是一个组成要素多样、复杂的综合系统，加上自然环境历史演化变迁以及人类活动的影响，地表各要素在时空分布上呈现既有随机性又有结构性的特点，鉴于此，对地表时空要素的时空分布、变异性、相关性以及依赖性的定量描述和研究相当困难。传统的解决办法是将地理要素空间上划分为时空上较为均一的区域或层区，在一定程度上描述地表要素的空间分布以及变异情况。以变异函数和克里金估计为代表的传统地统计学的出现，将区域化变量理论引入到地表要素空间变异性研究中并加以丰富和完善，使之定量化，从而大大推动了地表要素空间变异这一研究进展。地统计学被证明是研究地表要素空间分布特征及其变异规律最有效的方法之一。传统地统计学主要处理空间变异，然而地表要素是时空动态的，它的许多属性在发生空间变化的同时也随着时间发生变异，在空间变异基础上引入时间变异的分析能更准确描述地表要素的变异特征；同时，地表要素的互相关联性使地表某种要素的观测数据对其他相关要素有一定的指示作用，这种相关要素观测提供的辅助信息同样是描述目标地表要素时空变异性的重要信息来源。贝叶斯最大熵方法采用了统计学中的贝叶斯理论和信息论中熵的概念来认识和处理时空变量，是现代时空地统计学的重要组成部分[1]，它不同于传统的地统计学线性空间估计方法（普通克里金、协克里金、回归克里金等），属于以非线性理论为基础的时空估计范畴，对时空数据的分析以及不确定性数据（软数据）的使用成为其最大特点和优势，近20年來被逐渐应用到大气、土壤、环境、公共卫生等多个研究领域，近年来国内也有多位学者开始了对BME的相关研究。
1 贝叶斯最大熵
贝叶斯最大熵时空估计方法是1990年前后被提出的[2-4]，并逐渐被广泛应用在地球科学领域。该方法涉及到认识论、时空随机场、概率统计等学科知识，与传统空间分析、制图方法相比，最大特点是可以将所研究要素的精确观测数据（硬数据）、不确定性数据（软数据）和其他来源的相关信息系统合理地综合到对该要素的空间估计和分析制图过程中。
从认识论的角度来说，综合的知识和信息越多，对想象或过程的认知就越真实、越准确。BME可以将广义知识（general knowledge，用G表示）和特定知识（specific knowledge，用S表示）同时综合到目标要素的空间分析过程中。广义知识可以是统计规律（统计矩）、相关定律、科学原理等。特定知识包括特定点位上的测量数据，如实测点数据、面数据、时间序列数据等。在贝叶斯理论框架下，广义知识属于先验信息，特定知识是所研究要素新的观测数据和信息来源，基于贝叶斯理论根据先验的概率密度函数（probability density function，简称pdf）估计地理空间要素的后验概率密度分布及后验概率。目前在BME应用的多数研究中，广义知识通常是一些统计矩，最常用的是均值、方差和协方差，特定知识包括软数据和硬数据。
BME方法在逻辑上可以分为3个相互关联的阶段：（1）先验阶段。通过信息期望（熵函数）的最大化，将从已有的统计知识中得到的先验概率考虑到空间估计中；（2）中间阶段。整理特定知识（硬数据和软数据）并且将其转化成一种便于融入后期数据分析中的数学表达形式（比如概率分布形式）；（3）后验阶段。通过贝叶斯条件概率的形式表达待估计变量的后验概率，通过后验概率的最大化得到空间变量的估计。因此，BME方法在使自然现象的时空分析和制图过程满足信息量丰富的同时，又满足逻辑上的说服力更是合情合理，信息量丰富体现在先验阶段大量的先验知识，而逻辑上的说服力体现在后验阶段根据具体知识得到的后验概率[1]。
1.1 先验阶段
BME方法的此阶段是基于最大熵原理，在此阶段通常只使用广义知识（G）。
1.1.1 信息熵与概率 认知论中有这样的一个逻辑规则：如果某个命题越模糊越笼统，那么这个命题就包括了越多可能发生的事件，这个命题就有更大的可能性成立，然而关于命题的信息量却是少的；相反，如果越多可能发生的事件被排除了，也就是关于命题的信息量多了，而这个命题发生的可能性就小了[1]。也就是说一个信息量丰富的科学事件更不容易发生，因为它多了许多限制因素。在BME的先验阶段也作了这样的假设：广义知识所提供的信息量和地图真实形态出现的可能性之间是存在反比的关系，据此我们可以把包含在时空随机变量xmap的pdf 中的知识表达为信息量的形式。关于信息量和可能性之间有很多种表达方式，在BME中应用Shannon的信息量原则[5]，根据给定的广义知识G，包含在xmap中的信息量表示为下式：