基于BP神经网络-Monte,Carlo法的结构可靠性分析

摘 要:提出通过人工神经网络拟合极限状态函数的方法来解决结构可靠性问题。根据多层神经网络映射存在定理,对于任何在闭区间内的一个连续函数都可以用含有一个隐含层的BP网络来逼近。应用此定理,通过人工神经网络拟合极限状态方程,借助神经网络的函数映射关系产生大量的极限状态函数值,作为下一步的分析数据。此过程并不像Monte Carlo法对每一点都做确定性计算,因而达到减少计算工作量的目的。该方法仅采用Monte Carlo法随机抽样的思路,对大范围的数据进行概率分析,通过概率分析得到极限状态函数值的均值和标准差,以便求得结构系统的可靠性指标,进行结构系统可靠性分析。

关键词:BP神经网络; Monte Carlo法; 结构可靠性; 极限状态函数

中图分类号:TB114.3;TP183 文献标识码:A

文章编号:1004-373X(2010)12-0059-03

Structure Reliability Analysis Based on BP Neural Network Monte Carlo Method

ZHANG Liang1, ZHAO Na2

(1. Propaganda Department, China University of Petroleum, Dongying 257061, China;

2. Safety Supervision Station, Jiaonan Municipal and Rural Construction Bureau, Jiaonan 266400, China)

Abstract:The method of fitting the limit state functions through an artificial neural network is put forward to solve the problem of structure reliability. According to the existence theorem of multilayer neural network mapping, any continious function in the closed interval can be approached with BP network containing a hidden layer.Many limit state function values, which are acted as the analysis data in the next step, are generated with the theorem and the fitting of the limit state equations by the aid of the function mapping relationship of neural network. The probability analyses for a wide range of data are performed only by the thought of random sampling with Monte Carlo method. carry on to the data of the large range, receive the mean value and standard deviation of the limit state function values are obtained by the probability analyses to derive the reliability index of the structure system to carry on the reliability analysis of the structure system.

Keywords:BP neural network; Monte Carlo method; structure reliability;limit state function

0 引 言

在进行结构可靠性分析中,常遇到某些结构的极限状态函数不能明确给出,或者有些更为复杂结构的极限状态函数根本不能写出来,此时,直接应用大多数可靠性方法都会遇到困难。因此,可以利用数值模拟或实验等手段得到结构的多组输入及响应,以此作为神经网络的训练数据对神经网络进行训练。经适当训练的神经网络能够较好地逼近结构的极限状态函数,在此基础上可以十分方便地利用Monte Carlo法模拟结构的可靠度。

1 基本原理

1.1 Monte Carlo法

Monte Carlo法[1]是通过随机模拟和统计实验来求解结构可靠度的近似数值方法。

根据大数定律,设X1,X2,…,Xn是n个独立的随机变量,来自同一母体,有相同的分布,且具有相同的有限均值和方差,分别用μ,σ2表示,则对于任意ε>0有:

limn→∞ P(|(1/n)∑xi-μ|≥ε)=0 (1)

另有,若随机事件A发生的概率为P(A),在n次独立的实验中,事件A发生的频率为m,频率为W(A)=m/n,则对于任意ε>0有:

limn→∞ P(|(m/n)-P(A)|<ε)=1 (2)

由式(1)和(2)可知,当n足够大时,(1/n)∑xi依据概率收敛于μ,而频率m/n依据概率1收敛于P(A),就是Monte Carlo法的理论基础。

1.2 BP网络

BP网络[2-4](back-propagation neural network)是一种监督式的学习算法,通过连续不断在相对于误差函数斜率下降的方向上计算网络权值和偏差的变化而逐渐逼近目标。

一般的L层BP网络如图1所示。

假设神经网络的原始输入向量为 X =(x1,x2,…,xn)T,则第k(k≥2)层的输入值向量为netk= W Tk O k-1,输出向量为 O k=fk(netk)。

BP网的学习就是要确定权矩阵 W k,使理想输出 Y 与实际输出 O m的误差 E 最小。

图1 BP网络结构图



E =1/2‖ O m- Y ‖=1/2( O m- Y )T( O m- Y ) (3)



利用误差的负梯度来调整连接权,即计算其对各层权矩阵的偏导数,因而可以表示成:



 E  W k= O k-1( O m- Y )T O mnetm W Tm O m-1netm-1×…×

W Tk+2 O k+1netk+1 W Tk+1 O knetk,k=m,m-1,…,1 (4)



由 O k=fk(netk),可得式(4)中的Jacobi矩阵为:



JO k Z k = O knetk=diag[d O k1d netk1,d O k2d netk2,…,d O k1d netkm]=

diag[fk1′( Z k1),fk2′( Z k2),…,fkk′( Z kk)]

k=1,2,…,m (5)



网络每得到一个样本,就会学习并更新连接权,对于第t+1个样本的权矩阵可以修正成:

W (t+1)k= W (t)k+δ W (t)k,k=m,m-1,…,1 (6)

按照最速下降法,为了使 E 达到极小点,应该有:

δ W (t)k=-ηt E (t) W (t)k (7)

BP神经网络的学习步骤为:

(1) 选定学习的样本集{ X (t), Y (t)}(t=1,2,…,S),随机确定初始权矩阵 W (0)k(k=1,2,…,m),用学习样本 X (t)计算 O (t)k,(k=1,2,…,m);

(2) 利用式(4)和式(5)反向计算偏导数 E (t) W (t)k(k=m,m-1,…,1);

(3) 利用式(6)和式(7)反向修正 W (t)k以得到 W (t+1)k(k=m,m-1,…,1);

(4) 重复步骤(2)~(4),直到学习完所有S组样本。

2 基于BP神经网络-Monte Carlo的Matlab实现[5-9]

2.1 网络结构的确定

(1) 输入层与输出层设计。本文应用BP网络拟合结构的极限状态函数,所以输入层神经元个数应该为影响结构可靠度不同参数的个数,输出层只代表极限状态函数值,所以输出层神经元为l。

(2) 隐藏层的数目。可以通过增加隐含层中的神经元数目来提高精度,并且其训练效果也比增加层数更容易观察和调整,本文设计隐藏层为2层(m=2)。

(3) 隐藏层单元数目的确定。通常,隐藏层单元数目的选择原则是:在能够解决问题的前提下,在加上1到2个神经元以加快误差的下降速度即可。

(4) 激活函数的选取。用于做函数映射的BP网络,BP网中的神经元所用的激活函数必须是处处可导的,隐藏层神经元常采用sigmoid函数,其函数表达式为:

f(x)=1/[ 1+exp(-x)](8)

输出层激活函数采用线性Purelin型传递函数,可以使整个网络的输出范围为任意值。

2.2 网络的初始化

通过函数init实现,当newff在创建网络对象的同时,自动调动初始化函数init,权值一般取得随机数。对于输入的样本数据同样希望能够进行归一化处理,使那些比较大的输入仍然在神经元激活函数梯度大的那些地方。

2.3 样本数据的处理

为了适应BP算法的需要,输入/输出数据必须进行归一化和规范化处理,采用下式将其映射到[0.2,0.8]之间。其变化方式为:

X*=0.2+X-XminXmax-Xmin×0.6 (9)

Matlab中提供了对数据进行归一化处理的函数:[pn,minp,maxp]=permnmx(p),训练后相应的处理函数为:P=postmnmx(p,minp,maxp)

2.4 网络的仿真输出

当网络训练收敛后,应用Matlab提供的前向网络仿真函数sim(),对BP神经网络进行仿真输出。此时,整个人工神经网络就相当于一个复杂的非线性函数,可以对他进行函数的一切操作。

3 分析实例

本例参考了文献[10]中的简单门式框架,各单元的弹性模量均为 E =2.0×106 kN/m2,截面惯性矩与截面积的关系为Ii=αiA2i(i=1,2)。随机变量为单元的截面积A1(单位:m2),A2(单位:m2)以及外荷载P(单位:kN),其随机特征见表1所示。

表1 门式框架随机变量的统计特征

随机变量均值变异系数分布类型αi

A10.360.1对数分布1/12

A20.180.1对数分布1/6

P200.25正态分布

有结构力学知识可以解得:

u3=[(48k+32)/(18k+3)][P/(EI1)]

k=I2/I1 (10)

在确定建立了正确的映射关系之后,抽样选取10 000个样本点,采用三层BP神经网络模型,本例用式(9)代替数值分析或实验,建立极限状态方程如下:

Z =0.01-u3=0 (11)

形成训练数据{xi,zi}(1,2,…,10 000)。计算失效概率为pf=2.384 9×10-3,用重要性抽样方法得到的失效概率为pf=2.322 3×10-3。两种计算结果相近,说明基于神经网络的蒙特卡罗法的结构可靠性分析是可靠的。

4 结 语

结构可靠性分析由于受多种不确定因素的限制,所求解的极限状态方程往往是非线性的。神经网络具有强大的函数拟合和泛化功能,具有一个隐含层的三层神经网络能够精确拟合任意的连续函数。基于BP神经网络-Monte Carle法充分利用了神经网络高度的非线 性、容错性和鲁棒性以及自学习功能,相比直接的Monte Carle法更加适合复杂结构的可靠度计算。

参考文献

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