摘要：运用非线性理论建立了可再生自然资源m次非线性收获的动力模型，利用同伦映射方法求出了该模型的近似解。
关键词：可再生资源；非线性；同伦；近似解
中图分类号：O175.14文献标识码：A文章编号：2095-7394（2014）06-0005-04
0引言
可再生资源指能够通过自然力保持或增加蕴藏量的自然资源，例如太阳能，大气，森林，鱼类，农作物以及各种野生动植物等。可再生资源是自然资源的重要组成部分，是发展经济，改善和提高人们生活质量的重要物质基础。今年来，可再生自然资源的利用强度不断增大，出现了资源枯竭，再生能力下降等现象。对再生资源而言，只要当代人能合理开发利用，就能实现资源的可持续利用。因此可再生资源的可持续利用称为当前学术界的重要研究课题。但现有研究多偏重于定性分析和线性收获模型的研究，涉及非线性收获模型研究的相对较少。
非线性问题的理论和方法在国际学术界的研究中是一个十分热门的对象。许多学者做了大量的工作，并解决了许多地学，环境科学，大气物理，大气科学和管理科学等方面的问题[1-9]。李晓静曾利用重合度理论和摄动理论，研究了一些非线性时滞方程，得到了周期解存在性结果[8-12]。本文在上述工作的基础上研究一类可再生自然资源m次非线性收获动力模型并求其近似解。由于资源的分布不平衡，收获的方式也不同，实际的收获策略往往是非线性的，非线性的表现形式是多种多样的，参考相关文献[13]，实际的收获策略往往并不是线性的，所以本文运用非线性理论建立了可再生自然资源m次非线性收获的动力模型，利用同伦映射方法求出了该模型的近似解，从而可以较直接地讨论某些相关物理量的定量方面的特征。1模型的建立
有关可再生资源的增长率有[14]：r（x）=r（1-x1N），其中x是可再生自然资源数量，r是固有增长率，N是环境容许的再生资源最大蕴藏量，r和N是根据统计资料或经验确定的常数，而（1-x1N）是提供下一代资源续存的剩余环境容量，体现了环境和资源对可再生资源数量增长的阻滞作用。假设在没有利用的情况下，可再生自然资源的数量遵守Logistic的虫口模式：
r（x）=r（1-x1N）。（1）
以上是考虑在自然条件下可再生资源数量的增长模式。下面我们研究在人类对可再生资源可持续收获情况下可再生资源的数量模式。我们知道不仅资源分布存在着不均匀性，不平衡性，而且，收获的方式往往不是线性的.所以，我们认为实际的收获策略更多的是非线性的。假设收获量与可再生资源数量呈非线性m次关系
h（x）=Exm。（2）
根据（1），（2）两式，可以建立以下的可再生资源m次非线性收获的动力模式
dx1dt=r（1-x1N）x-Exm。（3）
从数学物理理论的角度，利用数学中的同伦映射方法较简捷地得到了非线性收获的动力模式（3）的近似解，从而可以较直接地讨论问题某些相关物理量的定量方面的特征。江苏理工学院学报第20卷第6期严静：可再生自然资源非线性收获动力模型的同伦解法2同伦映射和模型的近似解
为得到模型（3）式的近似解，引入一个同伦映射H（x，p）：X×IR，
H（x，p）=L（x）-L（u0）+p（L（u0）+r1Nx2+Exm），（4）
其中X=[0，∞），I=[0，1]，R=（-∞，+∞），而线性算子L为
L（x）=dx1dt-rx，（5）
u0为方程（3）的零次近似，现设为
u0=x（0）exp（αt），（6）
其中x（0）为x在t=0时的初值，α为调节常数。
显然，由（4）式知，H（x，1）=0就是方程（3），故方程（3）的解x（t）就是H（x，p）=0的解当p1的极限情形。
由
H（x，p）=0，（7）
设
x（t）=x0（t）+x1（t）p+…。（8）
将（5），（6），（8）式代入（7）式，展开为p的幂级数，比较等式两边p的同次幂的系数。
由p的零次幂的系数，可得L（x0）=L（u0），显然，这时有
x0（t）=x（0）exp（αt）。（9）
由p的一次幂的系数，并结合（9）式，有
dx11dt-rx1（t）=x（0）（r-α）eαt-r1Nx2（0）exp（2αt）-Exm（0）exp（mαt），（10）
为避免“共振”项的出现，选择调节常数α=r，这时（10）式为
dx11dt-rx1（t）=-r1Nx2（0）exp（2rt）-Exm（0）exp（mrt），（11）
并具有初值
x1（0）=0。（12）
（11），（12）式的解为
x1（t）=x2（0）1N+Exm（0）1（m-1）rexp（rt）-x2（0）1Nexp（2rt）-Exm（0）1（m-1）rexp（mrt）。（13）
于是由（9），（13）式，便得到了方程（3）的一次近似的解
xapp=x（0）exp（rt）+x2（0）1N+Exm（0）1（m-1）rexp（rt）-x2（0）1Nexp（2rt）-Exm（0）1（m-1）rexp（mrt）。（14）
用同样的方法，能得到方程（3）的更高阶近似解。3讨论
（1） 为了说明上述结果（14）式的精度，现以一种特殊的情形作如下比较：将E=0代入（3）式得
dx1dt=r（1-x1N）x。（15）
不难得到（15）式的通解为
x=11N+11X（0）-11Nexp（-rt）-1，（16）
其中x（0）为x在t=0时的初值。如果再考虑11N足够小，由（16）式得
x（t）=x（0）exp（rt）+11N（x2（0）exp（rt）-x2（0）exp（2rt））+O（11N2）。（17）
再考虑用同伦方法得到的模型（3）的近似解。在这种情况下，用E=0代入（14），有
xapp=x（0）exp（rt）+x2（0）1Nexp（rt）-x2（0）1Nexp（2rt）。（18）
通过（18）式与精确解（17）比较，可知用同伦方法得到的一次近似解（18）有较高的近似度。
（2） 因此，由表示式（14），可以在再生资源m次非线性收获的动力模式（3）的状态下，直接分析再生资源数量的状态及再生资源数量，直接分析再生资源数量变化与其固有增长率r之间的关系，直接分析再生资源数量变化与收获强度E之间的关系，进而能够为我们采取合理的再生资源收获策略提供科学的依据，能够为制定有效提高自然资源利用效率，控制环境破坏的政策提供科学依据。可再生资源的数量是一定的，超过一定的限度，就会引起社会和生态环境的失衡。所以，要坚持保护环境和保护资源，合理开发和节约使用各种自然资源。加强可再生资源的利用与管理，合理规范人们的行为，加强可再生资源可持续利用的宣传和教育，共同保护和维护好我国极为珍贵的可再生资源。
（3） 同伦映射方法是一个近似的解析方法，它不同于用一般的数值方法。用同伦映射方法得到的解的表示式能够继续进行解析运算。于是，由方程（14），能够进一步研究可再生资源数量的定性和定量方面的形态。参考文献：
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