李孟昶，郭少杰,张红艳
(1.长安大学理学院，西安 710064；
2.西安交通大学机械结构强度与振动国家重点实验室，西安 710049)
近年来，超材料逐渐引起研究人员的关注[1]，并被应用到多个领域，如声学超材料、光学超材料、电磁超材料等[2-5]。声学超材料典型的特征是具有亚波长的尺寸和异常的动态等效参数[6]，当弹性波在这类结构中传播时会受到结构的调制，从而使弹性波在某些频率范围内无法传播。
国内外学者最初的研究主要集中于布拉格(Bragg)散射型带隙[3]。2000年武汉大学刘正猷教授提出了局域共振型带隙结构[4]。通常带隙的形成是结构周期性和单散射体共同作用的结果，在布拉格散射型带隙中，各元胞之间相互作用起主导作用，而在局域共振带隙中，单个散射体的共振特性起主导作用[7-8]。许多学者对一维声学超材料的弹性波带隙特性展开研究。温激鸿等[9]通过将一维声子晶体中的元胞简化为集中质量，引入了一种基于集中质量的弹性波集中质量计算方法。Xu等[10]用集中质量法研究了一维声子晶体的阶频带隙特性，分析了集中质量数、元胞尺寸、弹性模量等因素对带隙的影响。郁殿龙等[11]研究了一维细长杆的弯曲振动特性,使用平面波展开法计算了杆的扭转带隙分布情况。郑玲等[12]研究了铝/橡胶声子晶体对横波的机械滤波特性,采用有限元法和传递矩阵法计算了能带结构，并且与实验进行了对比。Yan[13]研究了不同材料对一维声子晶体带隙的影响，认为高密度的材料更容易得到较宽的弹性波带隙。Gao等[14-16]深入研究了沿轴向排列的单槽、双槽及多层超材料板，对其低频带隙机理进行了分析。Xuan等[17]提出了一种可调节一维声子晶体亚型结构，实现弯曲波相位在0～2π移动。He等[18]研究了弹性支撑条件下一维声子晶体的带隙特性，并分析了不同工况对带隙的影响。
已有研究成果多针对单一类型带隙结构，如布拉格散射型带隙或局域共振型带隙进行研究。本文结合两种类型带隙机理特性提出一种管道超结构构型，其元胞由管道、变径凸台和局域共振振子构成。使用传递矩阵法和有限元法计算得到了结构轴向带隙分布图，建立该管道超结构的振动实验平台，测得了该结构的传输特性曲线，并将实验值和计算结果进行了对比验证，进一步分析了几何尺寸、材料参数等因素对结构带隙特性的影响。
1.1 管道超结构构型
结合布拉格散射型和局域共振型两种带隙机理特性，本文提出了复合带隙管道超结构元胞构型，其结构示意图如图1所示。该元胞由直管段、变径凸台和局域共振振子共同构成。直径较大的凸台嵌套在直管上，凸台上安装局域共振振子。局域共振振子由内部橡胶环和外部不锈钢组成，其元胞侧视平面图及参数如图2所示。
图1 管道超结构元胞构型示意图Fig.1 Schematic diagram of the cell configuration of the pipeline metastructure
图2 管道超结构元胞侧视平面图Fig.2 Side view of the pipeline metastructure
1.2 传递矩阵法
图3 管道超结构简化示意图Fig.3 Simplified pipeline metastructure diagram
为研究所构建管道超结构带隙特性，本文分别采用传递矩阵法与有限元法分析了其能带结构。传递矩阵法[19]从结构的连续状态参数基本方程出发，推导得到管道的传递矩阵，并根据相邻介质位移、应力等连续性获得边界条件，最终给出结构的解析解。本文所提出的管道超结构元胞简化示意图如图3所示。A段为直管段，变径凸台段以等效质量及等效刚度的形式计入B段，该部分材料记为等效材料B，局域共振振子用弹簧质量系统表示。
为研究管道轴向振动特性，设A段弹性模量、密度及截面积分别为EA、ρA和S；
B段弹性模量、密度分别为EB、ρB；
a1和a2分别表示A段和B段的长度，元胞尺寸a=a1+a2。
管道中纵波的一维波动方程为:
(1)
式中：u(x,t)为x处的位移。其通解可写成如下形式：
u(x,t)=U(x)eiωt
(2)
由式(1)可得，第n个元胞中A段振幅为：
(3)
同理可得，第n个元胞中B段振幅为：
(4)
局域共振振子n的振动方程为：
Vn(x)=Bneiωt
(5)
式中：Vn为振子的轴向位移，根据振子处基体位移、振子位移和弹簧回复力之间的关系，可知：
(6)
(7)
式中：ω为弹性波的角频率；
k为局域共振振子的体积模量；
E和μ为振子橡胶部分的弹性模量及泊松比；
m为局域共振振子的质量。
在第n个元胞材料A和材料B连接处，由位移和应力连续性条件可以得到：
(8)
(9)
将式(8)、(9)写成矩阵形式：
KAψnA=HAψnA
(10)
(11)
(12)
将式(11)、(12)写成矩阵形式：
KBψnA=HBψ(n-1)B
(13)
ψnB=Tψ(n-1)B
(14)
由于该结构在纵向具有周期性，利用Bloch定理[20]可以得到：
ψnB=eiqaψ(n-1)B
(15)
式中：q为Bloch波矢。将式(14)带入到式(15)中可以转化为求解标准矩阵的特征值问题：
|T-eiqaI|=0
(16)
求解矩阵T的特征值，即可得到波矢q与频率ω之间的色散关系。对于每一个给定的ω，波矢q由实部和虚部两部分组成，其中实部为该结构的色散曲线，虚部则表示弹性波在带隙内衰减能力。
1.3 带隙特性分析
为研究该结构带隙分布规律，本文分别采用传递矩阵法和有限元法展开计算。结构直管段为铝合金，凸台为不锈钢，振子内环为聚氨酯橡胶，外环为不锈钢，振子宽度为a3，各部分材料参数和几何参数如表1和表2所示。用COMSOL软件建立元胞结构的有限元模型，如图4所示。该结构划分为3 160个域单元，两端施加Floquet周期性边界条件，同时限制其径向位移，使其仅产生轴向运动。应用特征频率求解器对布里渊区边界进行波矢k扫描计算，可得到该元胞的轴向振动能带结构图。
表1 材料参数Table 1 Material parameters
表2 结构几何参数Table 2 Structural geometric parameters
图4 管道超结构有限元模型图Fig.4 Finite element model of the pipeline metastructure
图5分别给出了传递矩阵法和有限元法计算得到的结构轴向振动带隙分布图，可以看出在0～2500 Hz频率范围内共有两阶明显的轴向振动带隙,其位置分布基本一致。传递矩阵法所得实波矢部分为该结构的能带结构图。其中，第一阶带隙为191～371 Hz，第二阶带隙为1 181～2 141 Hz，带宽分别为180 Hz和960 Hz；
图5(b)的虚波矢部分反映了结构对弹性波的衰减能力，从图中可以看出，第一阶带隙较第二阶带隙对弹性波的衰减能力更强。有限元法所得带隙频率范围为185～381 Hz和1 157～2 080.5 Hz，对应带宽分别为196 Hz和923 Hz。两种方法所得两阶带隙位置相近，但均存在一定的差异，这是由于推导传递矩阵时，对变径凸台及局域共振振子进行等效简化从而产生了误差。两者结果表明，该管道超结构元胞在0～1 000 Hz频段和1 000～2 200 Hz频段均有带隙分布。
图5 管道超结构元胞能带图Fig.5 Band diagram of the pipeline metastructure cell
为进一步对比分析其带隙产生机理，元胞结构可看作由I型基胞(见图6(a))和Ⅱ型基胞(见图6(b))构成，图7给出了二种基胞和元胞结构的带隙分布图。可以看出，管道超结构第一阶带隙位置与基胞I型的第一阶带隙位置相近。综合图5和图7分析可知，该带隙对弹性波衰减能力较强，且频率较低，为局域共振型带隙。由于振子的共振现象，该频率范围内的弹性波被局域化，从而导致弹性波无法正常传播，该带隙位置主要随振子内环弹性模量和外环质量的改变而变化。管道超结构第二阶带隙位置与基胞I型的第二阶带隙和基胞Ⅱ型的第一阶带隙频率范围相近。同时图5中该带隙虚波矢部分呈现对称特性，应为布拉格散射型带隙[21]。周期出现的变径凸台及局域共振振子相对于直管段均发生尺寸变化，而这种尺寸改变会对弹性波进行反射，导致入射波与反射波相互叠加，致使部分频率的波无法传播，从而产生布拉格散射带隙。
图6 基胞示意图Fig.6 Schematic diagram of basic cells
1.4 有限周期结构传输特性
考虑到实际工程结构大多为有限周期结构，这将导致带隙频率范围内某些弹性波的能量衰减不彻底而仍然能透过有限结构。为了更好地研究该管道超结构的实际应用效果，需进一步计算其传输特性，常用传输系数TL来描述一个结构对振动传播的隔离能力，如下式:
TL=20×lg(u0/u1)
(17)
式中:u0为传递到输出端的位移;u1为输入位移。
应用COMSOL软件建立包含4个元胞结构的有限元模型，在其一端施加不同频率的轴向位移激励，在另一端获得轴向位移响应。图8给出了管道超结构传输特性曲线并与其带隙分布图进行了对比。从图中可以看出，传输特性曲线共有两处明显的凹陷，其频率范围与前述计算得到的前两阶带隙基本一致。
图7 基胞带隙与管道超结构带隙对比Fig.7 Comparison of the band gap between the basic cell and the pipeline metastructure
图8 管道超结构传输特性曲线Fig.8 Transmission curve of the pipeline metastructure
为了对比验证所提出的管道超结构带隙分布和传输特性，本文建立了该结构的传输特性测试实验平台。
2.1 实验方案
实验中，管道超结构由4个元胞构成，变径凸台及振子周期排列嵌套在直管上，用弹性绳将管道超结构悬挂在固定支架上，使用力锤在管道一端沿水平方向敲击，诱发该管道的轴向振动。同时在管道两端分别布设YD9820电涡流位移传感器，应用B&K3160-A-042数据采集仪测量输入与输出位移，其实验装置及结构局部图如图9所示。
图9 管道超结构传输特性实验装置图Fig.9 Experimental devices for transmission characteristics of pipeline metastructure
2.2 实验结果分析
实验中，分别对1～1 000 Hz和1 000～2 200 Hz两个频率范围进行振动位移响应测试。经过傅里叶变换，将所得到的结果从时域转换到频域，并与有限元仿真结果进行对比。图10分别为管道超结构在两个频段的传输特性曲线，可以看出，该结构出现了两处振动明显衰减的带隙，其中第一阶带隙出现在160～220 Hz，与数值模拟结果位置接近；
第二阶带隙出现在1 900～2 200 Hz，与数值模拟结果1 157～2 080.5 Hz存在一定差异。实验结果中1 000～1 800 Hz范围内波的衰减较弱，带隙并不明显，其主要原因是第二阶带隙对波的衰减特性较第一阶弱，其频率较高，振幅较小，因此实验过程中受到干扰因素较多。其次，实验中管道结构由弹性绳悬空吊起，其实际边界条件与数值理论模型存在一定差异。同时周期排列的振子质量较大，极易引起管道的弯曲变形，对结构轴向振动产生影响，难以实现严格意义上的轴向振动。综上原因导致实验结果与数值结果在第二阶带隙范围处出现一定差异。
图10 结构传输特性曲线Fig.10 Transmission curve of the structure
通常影响布拉格散射型带隙的主要因素为晶格结构、尺寸等；
而局域共振带隙则主要强调单个散射体的设计。因此，本节将讨论元胞尺寸、凸台尺寸、橡胶及钢环厚度等参数对带隙分布的影响规律。
图11分别给出了元胞尺寸a和凸台尺寸a2对结构带隙的影响分布图。从图中可以看出，第一阶带隙以局域共振为主型带隙，元胞尺寸变化对其影响较小；
随着凸台长度的增加，其上振子与其他直管段的相对质量比有所降低，带隙宽度减小。第二阶带隙以布拉格散射为主型带隙，凸台长度及其与直管段的相对比值对带隙起始频率和带隙宽度影响较大，随着凸台长度增加，凸台内部传播的弹性波波长增大，带隙频率先降低；
当凸台长度增加至超过直管段时，直管段长度减小将导致在直管段内部传播的弹性波长减小，带隙起始频率出现升高。因而带隙起始频率和宽度呈抛物线变化，当凸台长度增加到约80 cm时，带隙宽度达到峰值。
图11 元胞和凸台尺寸对带隙的影响Fig.11 Effect of the cell and boss size on band gaps
分别改变局域共振振子中橡胶和钢环厚度，带隙分布如图12所示。可以看出，随着橡胶厚度的增加，元胞两阶带隙位置均逐渐降低，带隙宽度随橡胶厚度增加而有所减小。钢环厚度增加降低了第一阶带隙位置，对第二阶带隙无显著影响。这是由于橡胶和钢环的尺寸增加，其等效刚度和等效质量也随之增加，固有频率降低，导致第一阶带隙频率降低。
综上所述，元胞第一阶带隙主要为局域共振型带隙，凸台和振子尺寸对其影响较大，元胞尺寸对其影响较小。第二阶带隙主要为布拉格散射型带隙，该带隙分布随元胞和凸台长度改变而改变。合理设计结构各部分几何尺寸，可满足工程中特定频段同时抑振的需求。
图12 橡胶和钢环厚度对带隙的影响Fig.12 Effect of thickness of rubber and ring on band gaps
本文设计了一种同时包含局域共振型和布拉格散射型带隙的新型复合带隙管道超结构构型。分别采用传递矩阵法和有限元法计算了该结构的带隙分布及传输特性曲线；
搭建了包含4个元胞的管道超结构的实验平台，采用力锤敲击法进行振动测试，并与数值计算结果进行了对比验证，两者取得了较好的一致性，得到如下结论：
(1)本文提出的新型管道超结构构型，其能带分布结合了局域共振型带隙和布拉格散射型带隙特点，且第二阶带隙频率范围较宽。
(2)该元胞结构的第一阶带隙主要为局域共振型带隙，凸台和振子的几何尺寸对其影响较大，元胞尺寸对其影响较小。其带隙宽度随振子宽度的增加而增加，频率随钢环厚度增加而降低。
(3)该元胞结构的第二阶带隙主要为布拉格散射型带隙，元胞长度、凸台长度和橡胶厚度对其影响较大，随着元胞尺寸的增加，其带隙中心位置逐渐降低。合理设计结构各部分几何尺寸，可满足工程中特定频段同时抑振的需求。
猜你喜欢带隙元胞局域基于元胞机技术的碎冰模型构建优化方法舰船科学技术(2022年20期)2022-11-28一种基于BJT工艺的无运放低温度系数的带隙基准源成都信息工程大学学报(2019年3期)2019-09-25一维周期掺杂热子晶体带隙的研究科技创新与应用(2018年21期)2018-09-14基于元胞自动机下的交通事故路段仿真智富时代(2018年5期)2018-07-18基于元胞自动机下的交通事故路段仿真智富时代(2018年5期)2018-07-18间距比对双振子局域共振轴纵振带隙的影响振动工程学报(2017年4期)2018-05-31一款高PSRR低温度系数的带隙基准电压源的设计电子制作(2018年1期)2018-04-04基于快速局域线性回归的IRAS/FY-3B大气温湿廓线反演光学精密工程(2016年6期)2016-11-07基于元胞数据的多维数据传递机制北京测绘(2016年2期)2016-01-24PET成像的高分辨率快速局域重建算法的建立中国医学装备(2015年10期)2015-12-29