徐登明，李非亚
（中国民航大学a.中欧航空工程师学院；
b.理学院，天津 300300）
近年来，随着量子信息学的兴起，无偏基（MUB）逐渐被人们广泛关注。无偏基在量子信息理论中起着举足轻重的作用，为量子态的测量提供了一组最优测量基[1]，使得量子测量过程变得简洁高效。另外，无偏基在量子状态层析、量子密码、量子纠错等方面也发挥着重要作用[2]。
在有限维复向量空间CK中，确定无偏基的最大组数N（K）是无偏基的主要研究内容。1989年，Wootters等[3]证明CK中最多存在K+1 组无偏基，即N（K）≤K+1，当K是素数幂时，N（K）=K+1，而当K是非素数幂时，确定无偏基的最大组数仍是一个尚未解决的问题，许多学者为此做了大量工作。如：Weiner[4]证明了N（K）≠K；
Song 等[5]利用拉丁方的性质证明了在CK（K=n2，n为正整数）中N（K）≥K+1；
文献[6-7]利用张量积的性质给出了K=K1K2维空间中几类无偏基的构造。
一般情况下，构造CK上的无偏基非常困难。2005年，Klappenecker 等[8]提出了近似无偏基（AMUB）的概念，将无偏基的内积条件进行弱化，对非素数幂维K=p-1 的情形，构造了K+1 组近似无偏基。此后，王威扬等[9]和Li 等[10]利用有限域及有限环上的高斯（Gauss）和及雅克比（Jacobi）和，对非素数幂维K=q-1 或K=q+1 等情形构造了CK中的K+1 组及K+2组近似无偏基。
文中利用有限域上的两类指数和，对K=（q1-1）×（q2- 1）（q1，q2为素数幂）的情形，分别构造了CK中min{q1，q2}及min{q1，q2}+1 组近似无偏基。
1.1 无偏基（MUB）与近似无偏基（AMUB）
定义1设B1= {|v1〉，|v2〉，…，|vK〉}和B2= {|u1〉，|u2〉，…，|uK〉}分别是复向量空间CK的一组单位正交基，若任意|vi〉∈B1与|uj〉∈B2都有
则称B1和B2为CK的两组无偏基（MUB）。
若CK中的m 组单位正交基B1，B2，…，Bm两两无偏，则称为一组无偏基集。
定义2设B1={|v1〉，|v2〉，…，|vK〉}和B2={|u1〉，|u2〉，…，|uK〉} 分别是复向量空间CK的一组单位正交基，若任意|vi〉∈B1与|uj〉∈B2都有
则称B1和B2为CK的两组近似无偏基（AMUB）。
若CK中的m 组单位正交基B1，B2，…，Bm两两近似无偏，则称为一组近似无偏基集。
1.2 指数和
设Fq是一个有限域，Fq*表示该有限域不含元素。f（x）为Fq上的一个置换多项式，满足f（0）=0，并且对任意1≠α∈Fq，f（αx）-f（x）都是Fq上的置换多项式。设φ是Fq上的乘法特征，χ是Fq上的加法特征。定义指数和
由文献[11]有
详细证明过程见文献[11]。容易看出，当f（x）=x 时，指数和S（φ，χ）即为有限域Fq上的Gauss 和。
设λ也是Fq上的一个乘法特征。设g∈Aut（Fq*）是Fq*上的一个自同构，且对任意1≠α∈Fq，都是Fq*上的一个置换，令g（0）=0。定义指数和
由文献[12]有
详细证明过程见文献[12]。
1.3 有限域的直积
设Fq1，Fq2是两个有限域，qi=pmii （i=1，2）是素数幂。设R=Fq1×Fq2，则R 是一个环且|R|=q1q2。设R 上的乘法群
则|R*|=（q1-1）（q2-1）。
设χ(1)，χ(2)是Fq1，Fq2上的典范加法特征，λ(1)，λ(2)是Fq1，Fq2上的乘法特征，U 是模为1 的复数乘法群。
设（R，+）为R 上的加法群，定义映射
其中χ（α）=χ(1)（α1）χ(2)（α2），易证χ是环R 上的典范加法特征[7]。
设R*是乘法群，定义映射
其中λ（α）=λ(1)（α1）λ(2)（α2），则λ是环R 上的乘法特征。
设K=（q1-1）（q2-1）（qi为素数幂），利用1.2 节中指数和S（φ，χ）与T（λ，φ）的模的值以及1.3 节中环R 上加法特征和乘法特征的定义，本文给出两类近似无偏基的构造。
2.1 构造I
设Fq1，Fq2是两个有限域，不妨设q1≤q2。令R=Fq1×Fq2，根据1.3 节，。
因此，由L的定义知，对任意μi≠μj∈L，都有且。
设α=（α1，α2）∈R-R*，根据补充定义，当μ(1)与μ(2)中有一个是非平凡特征时，μ（α）=μ(1)（α1）μ(2)（α2）=0。
保持上述记号不变，给出如下定理。
定理1设，z=（1-x，1-y）∈R}。
令K=|D|=（q1-1）（q2-1）。对任意以及μ∈L，定义向量
对每一个μ∈L，令
则Bμ是CK的一组单位正交基。记B*={|e1〉，|e2〉，…，|eK〉}为CK的标准正交基。令，则是CK中的基数为q1的近似无偏基集。
证明首先证明Bμ是一组单位正交基，设|v(λ，φ，μ)〉∈Bμ，由于
故|v(λ，φ，μ)〉为单位向量。
设|v(λ1，φ1，μ)〉∈Bμ，|v(λ2，φ2，μ)〉∈Bμ，其中（λ1，φ1）≠（λ2，φ2），则
因此，Bμ是CK上的一组单位正交基。
对每个|v(λ，φ，μ)〉∈Bμ及|ei〉∈B*，显然有|〈v(λ，φ，μ)|ei〉=。
设|v(λ1，φ1，μ1)〉∈Bμ1，|v(λ2，φ2，μ2)〉∈Bμ2，其中μ1≠μ2∈L，且，则
由于
又μ(1)，μ(2)均为非平凡特征，由补充定义可知，μ(1)（0）=0，μ(2)（0）=0。所以
根据式（2）得
证毕。
2.2 构造Ⅱ
设Fq1，Fq2是两个有限域，q1≤q2。类似于2.1 节，令R=Fq1×Fq2。
设f1（x），f2（x）分别是Fq1，Fq2上的一个置换多项式，fi满足：fi（0）=0 以及对任意α≠1，fi（αx）-fi（x）都是Fqi（i=1，2）上的置换多项式。
设c=（a，b）∈R，由1.3 节，对任意α=（α1，α2）∈R，有
记Fq1={a1，a2，…，aq1}，Fq2={b1，b2，…，bq2}。因为q1≤q2，取子集{b1，b2，…，bq}⊆Fq2。令S={（a1，b1），（a2，b2），…，（aq1，bq）}。若记ci=（ai，bi），则S= {c1，c2，…，cq1}。由S的定义知，对任意ci≠cj∈S，都有ai≠aj且bi≠bj成立。也即，若ci≠cj∈S，由χci≠χcj都有且成立。
保持上述记号不变，给出如下定理。
定理2设，f2（y））∈R}。
令K=|D|=（q1-1）（q2-1）。对任意，φ∈以及χc∈，其中c∈S，定义向量
对每一个c∈S，令
则Bc是CK中的一组单位正交基。记B*={|e1〉，|e2〉，…，|eK〉}为CK的标准正交基。令，则是CK中的基数为q1+1 的近似无偏基集。
证明首先证明Bc是一组单位正交基。
设|v(λ1，φ1，χc)〉∈Bc，|v(λ2，φ2，χc)〉∈Bc，其中（λ1，φ1），，由于
故Bc是CK上的一组单位正交基。
由c1≠c2知，a1≠a2且b1≠b2，故与均非平凡。根据式（1）得
证毕。
文中设K=（q1-1）（q2-1），利用有限域上的指数和S（φ，χ）及T（λ，φ），在CK中分别构造了min{q1，q2}及min{q1，q2}+1 组近似无偏基，这丰富了非素数幂维复向量空间中近似无偏基的构造。但构造的近似无偏基组数有限，进一步希望能找到更有效的方法在非素数幂维复向量空间中构造更大基数的近似无偏基集。
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