戴博见，陶建峰，孙 浩，刘成良
(1.上海交通大学 机械与动力工程学院，上海 200240；
2.上海交通大学 机械系统与振动国家重点实验室，上海 200240)
阀控非对称缸系统由于其具有功率密度大、结构紧凑、成本低廉等特点，广泛应用于冶金、矿山、钢铁等行业的液压伺服系统中，通过控制比例阀的阀口开度，实现系统的位置、速度、力的闭环控制[1-2]。然而，阀控系统内部的非线性、液压缸的不对称性会导致系统响应滞后、压力不稳定，许多学者对阀控系统的非线性控制做出研究[3]。
LIU Yanjun等[4]设计了阀控系统模糊PID控制算法，利用模糊推理规则，随着误差及其变化率自适应调整PID参数，保持控制精度。NGUYEN等[5]通过径向基函数网络逼近物理模型，利用神经网络干扰观测器来估计和补偿匹配与不匹配扰动，在此基础上设计的滑模控制器实现了系统高精度位置控制。ZHENG Xinyu等[6]设计滑模控制器，并通过量子粒子群算法优化滑模面参数，在扰动情况下保证了足够的位置精度跟踪；
何常玉等[7]通过一种基于动态面技术的自适应鲁棒控制策略解决了传统反步法的复杂爆炸问题，同时设计了基于非连续投影方法的自适应律，进行液压系统位置参数的在线估计。以上方法虽然能够很好的控制系统，但是在保证系统快速性的同时可能会出现超调现象，而在阀控系统中，常常不允许超调的出现。即便允许系统微小超调，由于非对称缸的两腔的作用面积不均等，换向时常常会导致较大压力波动，对系统稳定控制与系统工作寿命造成影响。
阀控系统位置跟踪的过程中应避免阀芯反向运动，输入信号存在约束，此外为避免系统出现超调，输出信号同样存在约束，模型预测控制可以很好的解决带约束的系统控制问题。然而，阀控系统不仅在阀口流量存在非线性，而且液压缸在运动过程中由于两腔体积变化导致液压弹簧系数发生改变，具有较强的非线性，基于系统简单线性化的模型预测控制通常不能满足控制需求，这也引起了相关学者的关注。杨泰春等[8]利用支持向量机对阀控系统模型进行拟合，使用序列二次规划方法求解约束非线性二次规划问题，在避免超调的同时响应速度快于传统PID控制；
孙浩等[9]提出了采用高斯过程回归的阀控非对称缸模型预测控制方法，能够对混有噪声的数据进行拟合，保证离散模型的较高精度与鲁棒性，保证了位置控制的快速性与准确性。通常情况下，非线性约束规划问题求解计算量较大，计算耗时较长，而线性二次规划问题求解速度较快。为降低线性化导致模型的不准确性，精确线性化方法常常被运用在非线性系统控制中。杨俊等[10]设计了一种鲁棒反馈线性化控制策略，并利用改进二阶滑模算法噪声，抑制位置信号直接微分得到加速度信号产生的高频有效抑制外接扰动的同时提高了阀控非对称缸系统的精度和鲁棒性；
CAI Zhenhuan等[11]针对四轴飞行器非线性模型，设计了基于反馈线性化的模型预测控制，有效地确保四轴飞行器在扰动情况下稳定跟踪轨迹；
林辉等[12]对比反馈线性化的模型预测控制器与状态反馈极点配置控制器，并应用在永磁同步电机模型上，证明了反馈线性化可以有效简化控制率的设计，减小模型失配误差，保证系统平滑的动态响应与控制稳定。
为解决阀控系统超调问题以及非线性模型预测控制求解计算复杂问题，本研究设计了一种精确反馈线性化的模型预测控制方法，首先建立阀控非对称缸状态空间方程，进一步推导系统反馈线性化模型，设计模型预测控制器，并完成了仿真验证。
1.1 系统描述
阀控非对称缸系统由零开口比例伺服阀和非对称液压缸组成，其系统原理如图1所示。图中u为阀芯位移输入；
y为液压缸的位移；
m为负载质量；
B为负载阻尼；
K为负载弹簧刚度；
F为等效负载力；
ps表示系统供油压力；
p0表示回油压力，设为0；
ω表示阀芯对称阀芯节流面积梯度；
Qa和Qb分别表示流入和流出液压缸两腔的工作流量；
pa和pb为液压缸两腔压力；
Aa和Ab为非对称缸两腔工作面积。
1.2 系统数学模型
系统选取的比例伺服阀为理想对称零开口滑阀，忽略伺服阀内部泄漏，设液压油从伺服阀流出至液压缸方向为正，其流量方程如下：
(1)
图1 阀控非对称缸系统原理图Fig.1 Schematic diagram of valve-controlled asymmetric cylinder system
忽略液压缸外部泄漏，设流入液压缸方向为正，液压缸流量连续性方程：
(2)
式中，Va，Vb—— 无杆腔与有杆腔的容积
Ci—— 液压缸的内泄漏系数
其中，Va=Va0+Aay，Vb=Vb0+Ab(L-y)，Va0，Vb0分别表示有杆腔与无杆腔的死腔容积。
设液压缸伸出方向为正，由牛顿第二定律得到力平衡方程：
(3)
1.3 系统状态空间描述
(4)
根据式(1)～式(3)，可以得到非线性模型的状态空间描述：
(5)
反馈线性化属于非线性系统的精确线性化方法，其核心思想为通过代数变换和状态反馈，将系统的非线性转化到输入信号当中，将非线性系统代数地转化为线性系统。
针对阀控非对称液压缸系统，将非线性状态空间方程写成仿射系统标准形式为：
(6)
式中：
利用微分几何的方法，计算系统：
(7)
可以得到反馈线性化系统相对阶为3，所以线性化系统的状态个数为3个。进一步计算可以得到：
Aax3-Abx4)
[-Aax2-Ci(x3-x4)]-
(8)
因此可以选取同胚变换的状态量为：
(9)
由于原系统的相对阶小于状态量个数，存在内动态子系统状态量η，需要满足：
(10)
满足条件可得：
(11)
则非线性系统经过反馈线性化得到的状态空间方程为：
(12)
式中，v—— 线性化系统输入
v=α(x)u+β(x)
(13)
伺服阀控液压缸系统既要满足控制信号在一定范围之内，又要保证系统无超调快速响应，给系统引入了输入、输出约束，传统控制方法无法解决控制中的约束问题，而模型预测控制则可以将系统的约束控制问题转化求解约束最优化问题，而反馈线性化得到的线性系统将原本非线性规划问题转化为线性约束二次规划问题，降低了计算复杂度，最终得到最优的控制序列输入系统，优化控制效果。
基于反馈线性化的模型预测控制将线性化模型作为原非线性系统的代理模型，利用线性系统的模型预测控制求解最优输入v，再根据非线性系统的状态值求解对应时刻的最优输入序列u作用于非线性系统。
将式(5)的线性部分离散化得到离散模型：
(14)
式中，Ts—— 系统采样时间
设控制器的预测时域为Np，控制时域为Nc，其中Np>Nc，则预测输出为：
y(k+1|k)=CDz(k+1)
y(k+2|k)=CDz(k+1)+CDBDv(k+1)
⋮
CDBDv(k+Np-1)
(15)
模型预测控制算法采样频率选取为0.1 ms，为避免计算量过大，控制步长选取为10步，控制时域为1 ms，远高于实际系统的响应速度，在预测时域内不能将系统稳定在目标值，导致系统跟踪阶跃信号时存在超调，因此设计损失函数增加了对控制信号的计算，损失函数包括三部分，第一项为k时刻的预测值与参考值偏差，第二项为输出控制信号增量，第三项为控制信号数值。
(16)
式中,ref(k) —— 参考控制信号
qi—— 被控变量权重
pi—— 控制增量权重
ri—— 控制量权重
由于输出信号增量与反馈线性化模型的输入不同，需要根据式(13)将控制信号增量转化为反馈线性化输入增量，则可以得到：
(17)
控制对象输入u为阀芯位移上限，其约束可以表示为：
(18)
通过式(12)可以得到反馈线性化系统的输入约束vmin和vmax。此外，为避免系统出现超调情况，设计约束：
(19)
考虑求解二次规划问题，可以使用MATLAB中二次规划工具箱，使用内点法对系统进行求解，将得到的第一个控制值v(k+1)作为模型预测输出，再经过式(13)转化为u(k+1)作用到原系统。
针对上述提出的基于反馈线性化的模型预测控制方法，在MATLAB/Simulink中搭建阀控非对称液压缸系统模型及FLMPC控制器，仿真模型具体参数见表1。
表1 仿真模型参数Tab.1 Simulation model parameters
被控系统输入信号为阀芯位置信号，范围为-5～5 mm，采样时间设置为0.1 ms。设置预测步长Np=10，控制步长Nc=5。
图2 反馈线性化模型跟踪对比Fig.2 Feedback linearization model tracking comparison
输入正弦信号幅值为0.5 mm，频率为5 rad/s，可以看出系统的跟踪误差的数量级在10-11m范围内，满足跟踪控制性能要求。
由于系统预测时域较短，对比无控制损失模型预测控制算法与添加了控制损失的模型预测控制算法跟踪阶跃响应，得到的仿真结果如图3所示。
图3 损失函数修正的控制效果对比Fig.3 Comparison of control effects of loss function correction
从阶跃响应的图中可以看出，无控制损失的模型预测控制算法仅在系统的上升时间进入预测时域内时，最优控制信号开始下降，而系统响应控制信号的时间远小于预测时间，系统不可避免地出现超调；
而添加了控制损失的模型，可以在预测时域未到达上升时间时使控制信号下降，有效地避免系统超调。
为验证所提出控制算法快速性和准确性，本研究设计无超调PID和快速PID算法进行对比，分别跟踪阶跃信号和正弦信号，PID参数如表2。此外，基于非线性状态空间模型，本研究设计了非线性模型预测控制进行对比，阶跃响应结果对比如图4所示。
表2 PID参数Tab.2 PID parameters
图4 阶跃响应跟踪对比Fig.4 Step response tracking comparison
图5 阶跃响应跟踪误差Fig.5 Step response tracking error
图中可以看出，本研究提出算法阶跃响应的调整时间为，优于无超调PID，响应速度更快。相比较于快速PID，反馈线性化模型预测控制可以避免超调出现，减小系统的位置振荡。而对比传统非线性模型预测控制方法，跟踪精度基本相同。
非线性模型预测控制器通过序列二次规划的方法对非线性规划问题进行求解，对比反馈线性化模型预测控制，得到单步计算时间结果见表3。
表3 单步计算时间对比Tab.3 Single-step calculation time comparison
对比单步计算时间可以看出，基于反馈线性化模型预测控制通过将非线性规划求解转换位二次规划问题求解，降低了系统计算复杂度，其计算速度优于非线性模型预测控制算法。
本研究首先根据伺服阀控[13]非对称液压缸系统的工作原理，建立了阀控系统数学状态空间方程，设计基于反馈线性化模型预测控制方法，并通过仿真验证，结论如下：
(1) 反馈线性化能够将非线性系统通过坐标变换，将系统的非线性部分转化到输入信号中，从而得到精确线性模型，通过对比阀芯正弦输入信号下液压缸的位置误差，验证了反馈线性化精度满足控制条件；
(2) 基于反馈线性化的模型预测控制方法相比较PID算法能够实现系统无超调快速响应，稳态精度较高，而相较于非线性模型预测控制方法，在保证控制精度的前提下，降低了单步计算消耗时间，提高了计算速度；
(3) 由于模型预测控制的预测时间远小于系统的响应速度，在模型预测控制的损失函数中加入对控制量u(k)数值的计算，可以计算出准确最优控制输入，避免系统出现超调。
猜你喜欢 线性化阶跃非对称 “线性化”在多元不等式证明与最值求解中的应用中等数学(2020年2期)2020-08-24阀控非对称缸电液伺服系统线性自抗扰控制太原科技大学学报(2019年3期)2019-08-05非对称干涉仪技术及工程实现航天电子对抗(2019年4期)2019-06-02探讨单位阶跃信号的教学天津教育·下(2018年9期)2018-07-13LCSR法响应时间原位测量装置的设计与实现自动化仪表(2017年8期)2017-08-30EHA反馈线性化最优滑模面双模糊滑模控制北京航空航天大学学报(2016年7期)2016-11-16采用李雅普诺夫函数的电液伺服系统反馈线性化控制西安交通大学学报(2014年7期)2014-04-16非对称换向阀在液压缸传动系统中的应用筑路机械与施工机械化(2014年2期)2014-03-01铂电阻线性化和抗干扰测温模块的研究自动化与仪表(2014年10期)2014-02-26晶体管驱动的阶跃二极管大幅度窄脉冲源探测与控制学报(2012年1期)2012-08-27