袁 乐，贺宇翔，李翔宇
（西南交通大学力学与工程学院，成都 611756）
变截面杆件是工程中常用的构件，在建筑、机械以及超声加工等领域有着广泛的运用，如超声聚能器、应力波放大器、蒸汽轮机的叶片等［1-3］。杆件在服役过程中，由于大气腐蚀或磨损会导致其表面形成随机粗糙面，这会对杆中波的传播产生影响，导致信息的传递出现偏差。因此，纵波在具有随机粗糙表面的杆件中的传播问题在工程应用上受到了广泛的关注［4-5］。
国内外学者已对变截面杆中的纵波传播问题的解析解开展了大量的研究。对于锥形杆或梁中的纵波传播问题，Abrate［6］将波的运动方程转化为均匀杆或梁的运动方程，给出了锥形杆或梁的精确解。Bapat［7］结合了传递矩阵法和锥形杆的封闭形式解，得到了指数和链状杆中纵波问题的解析解。Kumar等［8］研究表明，只有在截面变化满足一定条件的变截面杆中，纵波传播问题才存在解析解，并给出了截面变化条件。葛仁余等［9］也指出现有的解析方法只能得到一些特殊类型的变截面杆中纵波问题的精确解。然而，具有随机粗糙表面的锥形杆中的纵波传播问题尚缺乏解析解。
国内外学者利用多种方法研究变截面杆中纵波问题的近似解。杨立军等［10］采用摄动法近似求解了变截面杆纵向振动问题。Guo等［11］采用了一种近似解析法，研究了变截面杆的纵向自由振动问题。孟子飞等［12］基于应力波理论，结合耦合的欧拉-拉格朗日方法（CEL），研究了在水下爆炸载荷作用下变截面杆结构中纵向应力波的传播特性。Sebastian等［13］采用了步近法（Step Approximation Method）对变质量或变刚度的梁中的纵波波场进行了数值的计算，并与用多尺度展开方法计算得到的解进行了对比。步近法能准确计算纵波在粗糙杆中的传播问题，但目前尚未有文献利用步近法来计算具有随机粗糙表面的锥形杆中的纵波传播问题。
基于此，本文建立了由高度均方根和相关长度控制的随机粗糙面的数字模型，利用步近法研究了具有随机粗糙表面的锥形杆中的纵波传播问题，并利用有限元法验证了计算的准确性，还系统地研究了随机粗糙面的统计参数对纵波传播时的波幅的影响。通过与光滑杆中的纵波波幅的对比，得到了粗糙面统计参数与最大无量纲幅值衰减的近似预测公式。
以具有随机粗糙表面的圆锥形杆为研究对象。锥形杆的杆长为L，截面半径为r，其截面半径沿轴向变化。锥形杆在几何上是轴对称的，因此随机粗糙面仅是轴向坐标x的函数。截面半径r随x的变化为r(x)=r0+ax+γ(x)，其中r0为锥形杆初始端截面半径，a为对应光滑杆的半径斜率，γ(x)为随机粗糙面高度函数。粗糙锥形杆的子午面示意图如图1所示。
图1 粗糙锥形杆模型示意图
随机粗糙面数字模型由数字滤波器的线性滤波过程来构造。利用自回归方法，将粗糙表面高度的分布视为一个满足高斯分布的平稳随机过程［14］。随机粗糙面由两个统计参量控制，分别是粗糙高度均方根ε以及相关长度lc。粗糙高度均方根和相关长度分别控制了粗糙面的表面粗糙度和纹理：粗糙高度均方根越大，粗糙面的起伏高度越大；
相关长度越大，表面越光滑。
图2给出了在不同统计参量对应的无量纲随机粗糙面高度γ/r0随无量纲坐标x/r0的变化曲线。
图2 不同统计参量下的粗糙面模型
2.1 锥形杆的运动方程及其通解
对于表面光滑变截面杆，由轴向位移u(x,t)表示的运动方程为［6］：
其中，S为变截面杆的截面面积，E为弹性模量，u为轴向的位移，t为时间，ρ为材料的质量密度。其波场通解为［8］：
其中，A0和B0分别代表右行波和左行波的幅值，可由边界条件求出；
ω为频率，虚数单位，波数k=
当杆为平直杆时，则截面面积S为一常数，通解可以退化为：
2.2 粗糙锥形杆中的纵波波场
将长为L的粗糙锥形杆模型离散为N段平直杆，每段长度为l，如图3所示。杆的左端入射一幅值为A0，频率为ω的纵波，考虑波传播已经达到稳态。
图3 非光滑锥形杆离散示意图
由式（3）知，第n段杆的波场为：
当纵波在杆中传播时，若杆的某一截面两端的材料参数或截面面积发生了变化，在截面处就会发生反射以及透射现象［15］，如图4所示。
图4 波传播至截面处的反射及透射
在截面处应满足位移连续条件以及力平衡条件：
同理给出波在第n截面从右向左反射系数和透射系数为：
因此，由两相邻杆段波的反射与透射可以得到段间波的传递关系，如图5所示。
图5 相邻杆中波的传递关系
从图5可以发现，第n段杆的波场包含了向右的传递波，在第n截面左端的反射波和第n截面右端的透射波为第n截面右端的左行波幅值。那么第n段杆的波场又可以表示为：
联立式（4）和式（9），得
定义Jn,n+1为第n截面左端到第（n+1）截面右端的波幅传递矩阵：
递推到整个杆，便可以得到从一截面的左端到另一截面右端的波幅关系的传递矩阵：
第n段杆杆间的波幅关系可由式(16)得出：
第n段杆杆内波幅关系可由式(15)得出：
3.1 计算方法有效性验证
为了验证该方法的准确性，本文使用了MATLAB、ABAQUS软件对纵波在随机粗糙锥形杆中的传播进行了数值计算。其中，材料参数取E=2.1×108Pa，ρ=104kg/m3，杆的无量纲长度x/r0=1000>>1，r0为锥形杆的初始端截面半径，杆的左端入射一列纵波，频率ω=5 s-1，初始无量纲幅值A/r0=0.05。
在进行系统计算之前，首先对步近法进行了收敛性分析，结果见表1。
表1 步近法收敛性分析
表1中，N为计算时粗糙杆模型离散的单元数，A/r0为x/r0=500处的无量纲幅值。可见当N=105时，计算结果趋于收敛，在系统计算时将模型离散为105个单元。
为了验证使用本文解的正确性，使用步近法计算了光滑锥形杆中的纵波幅值。图6展示了纵波在光滑锥形杆中传播时的无量纲幅值A/r0随着无量纲坐标x/r0变化的曲线，并与表面光滑的锥形杆波场解析解（式（3））进行了对比。
图6 光滑杆中纵波幅值随坐标的变化曲线
从图6中可以看出本文的计算结果与光滑锥形杆波场解析解吻合较好。将数据结果对比分析可知，两者相对误差在0.1%以内。这初步说明了本文计算的准确性。
为了进一步验证步近法计算的准确性，使用有限元法（FEM）计算纵波在粗糙锥形杆中传播时的波场。为此建立了无量纲高度均方根ε/r0=0.05，无量纲相关长度lc/r0=50下的随机粗糙杆有限元模型。在有限元建模时使用了梁单元，单元截面为圆形，每个单元设置不同的截面半径，计算时粗糙杆离散为2000个单元。在杆模型的左端施加一个简谐纵向位移，对另外两个方向的位移进行了约束。粗糙杆模型两端为一段无限长平直杆，以确保计算时粗糙杆两端为无反射边界条件。计算时时间步长取0.01 s。
使用步近法计算具有相同粗糙表面的杆中的纵波波场并与有限元方法计算结果进行对比，结果如图7所示。两种方法计算得到的幅值最大相对误差为0.979%，进一步验证了本文计算的准确性。
图7 粗糙杆中纵波幅值随坐标的变化曲线
3.2 随机粗糙面统计参量的影响
系统计算了具有不同高度均方根和相关长度的随机粗糙面的锥形杆中的纵波波场。每组生成1000个具有相同统计参量的随机粗糙杆数字样品，并计算其中传播的纵波无量纲幅值的平均值及其标准差。图8给出了4组具有不同统计参量的随机粗糙面对应的无量纲幅值A/r0随无量纲坐标x/r0的变化曲线，并与表面光滑杆的无量纲幅值曲线进行对比。
图8 不同统计参量的随机粗糙杆与光滑杆中的幅值对比曲线
由图8可见，纵波在随机粗糙杆中传播时，其无量纲幅值相比于表面光滑杆有衰减。令无量纲幅值衰减为ΔA/r0，其中ΔA=Asmooth-Arough，Asmooth为纵波在光滑杆中传播时的波幅，Arough为纵波在粗糙杆中传播时的波幅。无量纲幅值衰减ΔA/r0随着无量纲坐标的增大而增大，在x/r0=1000处(即杆的最右端)达到最大。方便起见，令最大无量纲幅值衰减为ΔAmax/r0。
对比图8中不同统计参量的粗糙面对应的最大无量纲幅值衰减ΔAmax/r0，可见ΔAmax/r0随着无量纲高度均方根ε/r0的增大而增大，随着无量纲相关长度lc/r0的增大而减小。
为了进一步研究粗糙面的统计参量对纵波幅值的影响，分别保持高度均方根和相关长度不变，研究不同统计参数对最大幅值衰减的影响。图9展示了lc/r0=50时最大无量纲幅值衰减ΔAmax/r0随着无量纲高度均方根ε/r0的变化曲线。图10展示了ε/r0=0.05时最大无量纲幅值衰减ΔAmax/r0随着无量纲相关长度lc/r0的变化曲线。
图9 最大幅值衰减随高度均方根的变化
图10 最大幅值衰减随相关长度的变化
从图9和图10可以看出，幅值衰减与高度均方根和相关长度均呈指数变化。而当ε/r0=0时，粗糙杆退化为光滑杆，即ΔAmax/r0=0。因此，认为幅值差与高度均方根和相关长度的关系可满足下式：
其中，α、β、ξ为待定常数，可通过最小二乘法将幅值衰减与高度均方根和相关长度进行拟合得出。最大无量纲幅值衰减的经验公式为：
最大幅值衰减与高度均方根、相关长度的三维拟合曲面如图11所示。图中红色实心圆圈记号代表步近法的计算结果，蓝色实线代表了拟合曲面。
图11 最大幅值衰减与高度均方根、相关长度拟合曲面
为了验证经验公式的有效性，计算了拟合曲线与本文计算结果的最大无量纲幅值衰减的相对误差，如图12所示。
图12 拟合曲线与步近法计算结果的相对误差
图12 中，ΔAf为最大无量纲幅值衰减的拟合值，为拟合曲线与步近法计算所得的最大无量纲幅值衰减的差值绝对值。由图12可见，拟合曲线与本文的计算结果最大相对误差为1.07%，拟合结果良好。该拟合曲线存在一定的适用范围，经测试，只有当无量纲高度均方根ε/r0＜0.1且无量纲相关长度lc/r0＞25时，该经验公式比较准确。
建立了具有随机粗糙表面的锥形杆的数字模型，并利用了步近法来计算在粗糙锥形杆中传播的纵波波场解。通过与有限元法的计算结果对比，证明了步近法能够准确计算随机粗糙锥形杆中的纵波传播问题。随后利用该方法进行系统分析，探究了随机粗糙面的统计参量对其中传播的纵波的影响。给出了纵波的最大无量纲幅值衰减与高度均方根、相关长度的经验公式（式（21））。
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