何红斌，郑华†，张文超，朱励霖
(1.陕西师范大学物理学与信息技术学院，陕西 西安 710119；
2.四川大学物理学院，四川 成都 610064)
在文献[1]中，作者采用笛卡尔坐标系对有心力场中天体运动进行了系统讨论。笔者也注意到部分文献在处理有心力场问题时也是采用笛卡尔坐标系[2,3]。但笛卡尔坐标系不是处理有心力场问题的最佳选择，所带来的结果就是让计算变复杂。有心力场是理论物理中讨论的典型问题。本文中，笔者从对称性与守恒量的关系出发，以理论物理的角度认真阐明了有心力场问题，与文献[1]中采用笛卡尔坐标系的计算对比，体现理论物理的简洁与美。
分析力学中讨论了对称性与守恒律的关系[4,5]：时间均匀对应能量守恒；
空间平移不变对应动量守恒；
空间转动不变对应角动量守恒。有心力场的势能函数U(r)只是r的函数，具有空间转动不变性，即有心力场中系统角动量守恒。从而有心力场中质点的运动是在一个平面上，只需要两个广义坐标来描述。从对称性讨论得到的结论可以直接从角动量的定义进行验证。
工欲善其事，必先利其器，对有心力场问题选择合适的坐标系是非常重要的。有心力场的势能函数U(r)只是r的函数，极坐标系是最合适的选择。单质点在有心力场中的拉格朗日函数为
θ与r为广义坐标。式（1）中不含θ，即θ为循环变量，所对应的广义动量pθ是守恒量
其就是角动量pθ=l。
由式（1）可见，拉格朗日函数不显含时间，即时间均匀，系统能量守恒
至此，有心力场问题中的两个守恒量（角动量pθ与能量E）就通过体系的对称性找到，具有普适性。
有心力场中的运动轨迹由θ与r描述。利用守恒量角动量pθ与能量E，可以建立有心力场中的运动轨道方程--比耐公式[4,5]。由能量守恒式（3）可得
式（4）只取正号，不影响结论[6]。由角动量守恒式（2）可得
由式（4）与式（5）可得
式（7）中势能函数中的r没有写成u是起标记作用。两边对θ求导后计算可得
第2 节与第3 节是对有心力场的一般性讨论，所得结论与公式对有心力场均成立。现在讨论一种有心力场中的特殊情况
即平方反比引力场
将式（10）代入比耐公式式（8）中可得
解为ξ=Acos(θ−θ0)，其中A与θ0为积分常数。因此平方反比引力场中的运动轨道为
在极坐标系下，可以通过旋转坐标轴使θ0=0。定义变量与，那么式（13）变为
式（14）为圆锥曲线在极坐标下的标准方程，其中坐标原点在焦点上。而曲线的具体形状由离心率e决定:e=0轨道曲线为圆；
0＜e＜1轨道曲线为椭圆；
e=1轨道曲线为抛物线；
e＞1轨道曲线为双曲线。对于平方反比引力场中质点的轨道方程式（14），还可以通过平方反比引力场中的守恒量拉普拉斯-龙格-楞次矢量或者直接对式（6）积分得到，同时给出离心率e与系统能量E的关系，在此不做赘述[4,5]。
在式（14）中离心率e含有积分常数A，更方便的形式是建立离心率e与系统能量E的关系。将平方反比引力场的势能函数式（9）与式（13）代入式（6），计算可得
由式（15）可见，轨道曲线为哪一类圆锥曲线完全取决于系统能量的正负号。
开普勒三定律是开普勒对天文观测数据的整理得到的关于行星绕太阳运动的规律，发表于1609 年与1619年。假定星体之间的相互作用力是有心力，可以从开普勒三定律得到万有引力公式。
开普勒第一定律：所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。由此可知，行星绕太阳运动的轨道为椭圆，其方程形式为式（14）且离心率 0＜e＜1。将式（14）代入比耐公式式（8）可得
开普勒第二定律：行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过的面积相等。行星绕太阳运动扫过面积的速率为
由有心力场中角动量pθ为守恒量，式（17）自然地解释了开普勒第二定律。
开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都相等。在开普勒第三定律中提到了椭圆的半长轴，令其为a，同时定义椭圆的半短轴为b。因此，椭圆的面积为S=πab。行星绕太阳的运动周期为T。由开普勒第二定律可知
开普勒第三定律对α的形式提出了要求，即
其中f(M)是与太阳质量M相关的函数。那么行星与太阳之间的作用力为
再假定行星与太阳之间的作用力是普适的，对任何物体都成立。因此式（21）对质量m与M具有交换对称性，即
其中G为万有引力常数，由卡文迪许在1798 用扭秤法测定。因此式（20）变为α=GMm.式（22）对应的势能函数为。
由此可见，在有心力场的情况下，开普勒第二定律成立（普适）；
在万有引力的情况下，开普勒第一定律与开普勒第三定律成立。
为与文献[1]中讨论的内容对应，本文分别计算了行星轨道上任意一点的速度与以近日点为时间起点的运行时间。
令行星轨道上任意一点的速度为v，由能量守恒
因此
在有心力场问题的一般性讨论中，角动量pθ与能量E这两个守恒量是作为常数出现在公式中的。行星运动的观察数据是行星与天体之间的距离与轨道形状。因此，可以用行星的观察数据对角动量pθ与能量E进行替换。与文献[1]一样，假设知道行星与太阳的近日点距离rmin与椭圆轨道的离心率e.行星与太阳在近日点与远日点均有，由系统能量式（3）可得
式（25）的两个解即为近日点的距离rmin与远日点的距离rmax。因此，椭圆轨道的半长轴为
由式（15）可计算椭圆轨道的半短轴为
由椭圆关系可知
即
在近日点处，由系统能量式（3）与式（29）可得
将式（29）代入式（24），得到轨道上任意一点的速度
现在计算行星轨道上任意一点以近日点为时间起点的运行时间。对式（4）积分可得[4]
将式（9）代入式（32）并利用式（26）（27），可得
作变量代换r−a=−aecosχ，式（33）可写为
即
式（35）已经利用了近日点为时间的起点，即r=rmin,χ=0,t=0。当行星绕太阳转一周后，r=rmin,χ=2π，对应的时间为一个周期
与式（19）一致.式（35）可改写为
由式（37）可以计算行星轨道任意一点以近日点为时间起点的运行时间。具体计算为通过行星任意一点的距离r，由公式r−a=−aecosχ计算出所对应的χ值，带入式（37）即可。文献[1]中讨论的特殊位置的时间可以很容易的得到。
本文从理论物理的角度先讨论了有心力场中的守恒量，并通过守恒量得到了有心力场中的运动轨道方程--比耐公式，之后讨论了有心力场中的平方反比引力场中的运动轨道类型与系统能量的关系，然后讨论了开普勒三定律与万有引力的关系。分别计算了行星轨道上任意一点的速度与以近日点为时间起点的运行时间。在上述的讨论中，守恒量被频繁利用，突出守恒量在研究有心力场问题的重要性。同时，所有讨论均采用极坐标系，推导简洁明了，展示了极坐标系比笛卡尔坐标系对有心力场问题更有优越性。
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