王含逍, 罗紫洋, 张新东
(新疆师范大学 数学科学学院, 新疆 乌鲁木齐 830017)
扩散方程是一类描述物理量随时间的推移而不断扩散和衰减的基本方程, 在环境科学, 能量开发等许多领域中有着广泛的应用. 方程中所求变量的不同可以表示众多物理现象, 如以浓度为变量的扩散方程可以用来描述河流污染[1], 大气污染[2]和核污染中污染物质的分布, 以温度为变量的扩散方程可以用来描述流体传热现象[3-4]. 这些物理现象本身是非常复杂的, 其对应方程的精确解很难求得, 因此研究其数值求解方法具有重要的理论价值.
在研究扩散方程的数值解法中, 学者们提出了许多高精度格式. 杨晓佳等人[5]针对一维扩散方程, 空间方向采用二阶导数的四阶紧致差分格式进行离散, 时间方向采用泰勒级数展开的方法进行离散, 推导出了一种高精度显式紧致差分格式; 然后通过Fourier分析方法给出了格式的稳定性条件为λ≤1/2(λ为网格比). Noye等人[6]，提出了一种三阶半隐式五点有限差分方法来解决对流扩散方程, 并采用加权修正方程方法得出格式是无条件稳定的. 马明书[7]对一维抛物型方程构造了一个新的显格式, 截断误差可达O(τ3+h3). 徐金平等人[8]引入耗散项的方法, 构造一个条件稳定的显格式, 其稳定性条件为r≤1/2. 袁权龙[9]采用待定系数法导出了一类抛物型方程的高精度三层显式差分格式, 它的截断误差为O(τ2+h4), 并讨论了差分格式的稳定性条件. Dehghan等人[10]将几种数值方法应用于一维对流扩散方程, 较为容易的构造出两层显示差分格式, 且是无条件稳定的. 本文将建立一种新的高精度二层隐式紧致差分格式. 求解如下扩散方程的初边值问题，
(1)
其中,a,L和T是任意正整数,f(x,t),φ1(x)和φ2(x)是给定的光滑函数.
本节主要考虑式(1)的离散格式的构建.以下这些符号将在本节及之后的章节中使用.先给出一些函数空间,
定义紧致算子H如下，
在本文中,C为任意正常数, 且不同位置C的值可以是不同的.
引理1[11]设u(x)∈C6[0,L], 则
(2)
(3)
利用式(2), 式(3)及紧致算子H, 由式(1),可得
(4)
(5)
本节主要讨论离散格式(5)的稳定性.方便起见, 以下讨论中忽略下标j.
下面是关于离散格式(5)的稳定性定理.
定理1 设Un是离散格式(5)给定初值和边界条件的数值解, 则
其中C为正常数.
证明由离散格式(5), 可得
(6)
式(6)的两边同时与HUn+1做内积,得
由引理2, 得
(HUn+1,HUn+1)≤(HUn-1,HUn+1)+2τ(Hfn,HUn+1)
(7)
接下来, 将用数学归纳法来完成定理的证明.当n=0时, 由式(7), 有
(HU1,HU1)≤(HU-1,HU1)+2τ(Hf0,HU1).
由柯西-施瓦兹不等式得
‖HU1‖2≤‖HU-1‖‖HU1‖+2τ‖Hf0‖‖HU1‖,
由上式及引理3，可得
进一步，可得
‖HU1‖≤3‖HU0‖+4τ‖Hf0‖≤C(‖HU0‖+‖Hf0‖).
再由引理4，可得
‖HU1‖≤C(‖HU0‖+‖Hf0‖)≤C(‖U0‖+‖f0‖).
假设k=1,2,…,n-1时, 结论成立, 即
(8)
当k=n时,由式(7), 可得
(HUn,HUn)≤(HUn-2,HUn)+2τ(Hfn-1,HUn),
由柯西-施瓦兹不等式，得
‖HUn‖2≤‖HUn-2‖‖HUn‖+2τ‖Hfn-1‖‖HUn‖,
再由式(8)，可得
由引理4，有
因此
其中C为正常数.定理得证.
本节主要讨论离散格式的误差估计及收敛阶, 得到如下定理.
‖en‖≤C(τ2+h4),1≤n≤N,
其中,C为正常数.
证明用式(4)减去式(5), 得
(9)
在式(9)两边同时与Hen+1做内积得
由引理2和柯西-施瓦兹不等式，可得
‖Hen+1‖2≤‖Hen-1‖‖Hen+1‖+‖Rn‖‖Hen+1‖,
即
‖Hen+1‖≤‖Hen-1‖+‖Rn‖
(10)
‖Φ0‖≤Ch4‖u0‖4≤Ch4‖u0‖,
由引理3，可得
‖e-1‖=‖u(x,t-1)-U-1‖=‖u(x,t-1)-u-1+u-1-U-1‖=
(11)
‖He1‖≤‖He-1‖+‖R0‖≤‖e-1‖+‖R0‖≤C(τ2+h4).
假设k=1,2,…,n-1时, 结论成立, 即
‖Hek‖≤C(τ2+h4)
(12)
当k=n时,由式(10)和式(12), 可得
‖Hen‖≤‖Hen-2‖+‖Rn-1‖≤C(τ2+h4).
由引理4，有
因此
‖en‖≤C(τ2+h4),
其中,C为正常数.定理得证.
提出了扩散方程的高阶紧致差分格式, 证明了该格式是无条件稳定且具有时间二阶精度和空间四阶精度.本文的创新是利用紧致差分算子来离散空间项, 利用中心差分来离散时间项, 使其精度得到进一步提升.在以后的研究中, 将致力于用该方法求解分数阶问题.
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