周登举 ZHOU Deng-ju；
王韦棋 WANG Wei-qi
（安徽工业大学管理科学与工程学院，马鞍山 243032）
热轧是钢铁生产过程中最重要的工序之一，直接影响产品的质量。加热炉是热轧工序的辅助设备，也是热轧阶段的瓶颈环节，对钢坯实现连续热轧起到重要的调节作用。因此，加热炉和热轧的调度优化问题一直是学者和专家们研究的重点内容。目前，相关研究主要集中于加热炉调度、热轧调度和加热炉-热轧集成调度三个方面。
关于加热炉调度研究，杨[1]等认为加热炉调度是在轧制计划和连铸出坯计划已确定的前提下，决定钢坯在加热炉区的加工路径。其目标通常为燃料消耗最小[2，3]、住炉时间最小[3]等。
关于热轧调度问题的研究，Liu[4]等将其归纳为多旅行商问题，Chen[5]等则将其描述为车辆路径问题。热轧调度的目标大多为最小化跳跃惩罚成本[6]和最小化轧制单元数量[7]。文献[4]在前人研究的基础上，将吨钢能耗考虑进去，建立了以最小化吨钢能耗和最小化轧制单元数为目标的数学模型。
近年来，加热炉-热轧集成调度逐渐成为研究热点，学者们纷纷提出集成调度模型的建模方法，如文献[8]分析了加热炉对热轧生产的影响，抽取板坯标准住炉时间和出炉温度这两个关键因素，建立了热轧板坯轧制计划的整数规划模型、文献[9]将问题建模为两个耦合的子问题，分别用于求解轧制计划和加热炉调度方案。目标函数有最大化热装比[9]、最小化住炉时间[9]等。
从现有的研究中可以看出，单独的加热炉和热轧调度缺乏整体性考量，求出的调度方案无法兼顾多工序工艺约束和设备资源约束。而现有加热炉-热轧集成调度研究中，假设条件通常过于理想化，如轧机不允许空转等待、不考虑加热炉容量限制等。本文充分考虑轧制阶段工艺约束和设备资源约束，以钢坯的总完工时间最小、总住炉时间最小和轧机总待机时间最小为目标建立数学规划模型，并提出改进的NSGA-II算法对模型进行求解。本文的主要贡献如下：
①模型方面：考虑加热炉容量约束；
考虑实际生产中的工艺约束，允许轧机短暂待机；
通过添加最小化轧机待机时间为目标，尽可能减少轧机待机的时间。
②算法方面：根据问题特点，设计多层编码的染色体用以表征问题的解；
根据染色体中存在实数编码的特点设计多点复合交叉的交叉策略；
通过引入冲突检测-修复模块确保解的可行性。
本文针对一类典型的热轧生产线展开研究，每条生产线包含一台加热炉和一台轧机。热轧前，待轧制的钢坯先进入加热炉加热，达到额定加热时间才允许出炉，钢坯出炉后立即通过辊道运送至轧机进行轧制。其中，额定加热时间是指钢坯达到额定轧制温度所需的最短加热时间。轧制过程中，将钢种、规格等属性相同或相近的钢坯组成批次集中轧制，使用同一套轧辊轧制的钢坯称为一个轧制单元。加热炉-热轧阶段的工艺流程如图1所示。
图1 加热炉-热轧阶段工艺流程图
加热炉-热轧区间生产调度需要同时考虑加热炉和轧机的工艺约束，两者相互影响、相互制约。因此，为进一步提高设备利用率和生产效率、降低加热炉能耗，在编制加热炉-热轧集成调度方案时，需考虑如下工艺约束和设备资源约束。
①加热炉和轧机一一对应，可将有对应关系的加热炉和轧机视为一体，称为生产线；
②同一轧制单元的钢坯仅可由一条生产线加工；
③轧不同轧制单元时，轧机需停机换辊；
④钢坯有额定加热时间和最大住炉时间，钢坯实际住炉时间不得少于额定加热时间，也不得大于最大住炉时间；
⑤钢坯的入炉顺序、出炉顺序和轧制顺序须保持一致，且与轧制单元计划中钢坯的加工顺序相同；
⑥一台加热炉可同时加工多块钢坯，但不可超出容量限制，当加热炉装满时须等待钢坯出炉，炉中有空位的情况下才能装入新的钢坯；
⑦由于轧机待机造成的损失较大，生产中要求轧机待机的时间不超过一个上限值。
2.1 符号定义
为了方便描述模型，定义如下符号：
2.1.1 参数
i，j：轧制单元索引，i，j∈{0，1，…，n，n+1}，其中，0和n+1表示虚拟轧制单元，n表示轧制单元总数；
k：生产线索引，k∈{1，2，…，m}，其中m表示生产线总数；
Ωi：轧制单元i中的钢坯集合；
Ω：所有轧制单元中的钢坯集合；
Ω=Ω1∪Ω2∪…∪Ωn
l：钢坯索引，l∈Ω；
ail：钢坯l在轧制单元i中的加工序号；
pil：轧制单元i中钢坯l在加热炉中的额定加热时间；
wil：轧制单元i中钢坯l在加热炉中的最大住炉时间；
qil：轧制单元i中钢坯l的轧制时间；
Si：轧制单元i的开轧时间；
Qi：轧制单元i的轧制时间；
rilk：若轧制单元i中钢坯l在生产线k上的加热炉中加热，则rilk=1，否则rilk=0；
β：钢坯从加热炉到轧机的运输时间；
δ：同炉相邻钢坯的最小入炉时间间隔；
ε：轧机允许的最大待机时长；
φ：相邻两个轧制单元之间的轧机换辊时间；
Ck：
生产线k上加热炉的容量上限；
γ（ilt）：若，则为1，否则为0；
ρ（k，t）：表示t时刻加热炉k中钢坯的数量；
T：全部钢坯加热完成的最大时间；
U：一个足够大的正数。
2.1.2 决策变量
xik：若轧制单元i在生产线k上加工，则xik=1，否则xik=0；
yijk：若轧制单元i和j均在生产线k上加工，且j紧随i之后进行加工，则yijk=1，否则yijk=0；
2.2 数学模型
炉容受限的加热炉-热轧集成调度的数学模型如下：
目标函数（1）最小化总完工时间；
目标函数（2）最小化钢坯总住炉时间；
目标函数（3）最小化轧机总待机时间；
约束（4）每个轧制单元只能分配到一条生产线上加工；
约束（5）所有轧制单元有且仅有一个前序轧制单元和一个后继轧制单元；
约束（6）虚拟轧制单元0被安排在每条线的第一位；
约束（7）虚拟轧制单元n+1被安排在每条生产线的最后一位；
约束（8）在相同轧机上连续加工的两个轧制单元，后者开工时间要大于前者完工时间加轧机换辊时间；
约束（9）钢坯轧制开始时间等于出炉时间加上加热炉到轧机的运输时间；
约束（10）轧制单元的开轧时间即为单元中第一块钢坯的开轧时间；
约束（11）轧制单元的轧制时间等于单元中最后一块钢坯轧制完工时间减去轧制单元的开轧时间；
约束（12）同一轧制单元内的相邻两块钢坯，入炉的时间间隔必须大于等于最小入炉时间间隔；
约束（13）钢坯实际住炉时间应在额定加热时间至最大住炉时间范围内；
约束（14）同一轧制单元内的相邻两块钢坯，后者开工时间要大于前者完工时间和轧机待机时间不能过长；
约束（15）加热炉中同时加热的钢坯数不可超出容量限制；
约束（16）决策变量取值约束。
加热炉-热轧集成调度问题作为NP-hard问题，短时间无法获得最优解，一般使用智能优化算法获取满意解。NSGA-II是常见的多目标优化算法，但考虑到模型中加热炉容量限制，传统的NSGA-II算法获得的解不完全可行。因此，本文通过引入冲突检测-修复模块对不可行的解进行修复。
3.1 个体编码和初始解
染色体采用三段实数编码形式，由轧制单元所在生产线编号、钢坯的开始加热时间和开始轧制时间组成，其数据结构可表示如下：
其中，N为轧制单元个数，Mi为轧制单元i中钢坯的个数，第一段数组中FurnaceNo(1×N)是通过随机数为各轧制单元指派加工的生产线编号；
第二段数组中BilletStartHeat(1×N×Mi)是钢坯开始加热时间，第三段数组中BilletStartRoll(1×N×Mi)是钢坯开始轧制时间。如个体[1，2；
[0，2，4]，[4，6，8]；
[120，122，124]，[124，126，128]]。该个体表达了两个轧制单元被分派到两条生产线加工，每个轧制单元中包含三块钢坯。
3.2 选择、交叉和变异算子
采用轮盘赌方式进行选择操作，采用多点复合交叉方式进行交叉操作，采用均匀变异方式进行变异操作。
3.3 适应度函数和停止准则
适应度函数采用本文所求目标函数。停止准则采用给定种群的最大迭代次数。
3.4 冲突检测-修复模块
3.4.1 冲突检测
首先定义加热炉剩余资源能力函数R（k，t）：
R（k，t）表示t时刻加热炉k的剩余资源能力，若R（k，t）＜0，则表示t时刻加热炉k的资源负荷量超过炉容，违背炉容约束式（15），存在资源冲突。
若初始调度方案中，轧制单元i中的钢坯l被指派到加热炉k上加工，且入炉时间为说明钢坯l的加工时间违背加热炉的容量约束，则钢坯l为冲突钢坯。
3.4.2 修复方法
为消解冲突，需为冲突钢坯重新指定开始加热时间。定义lk∈{1，2，…，Nk}，lk和Nk分别表示在生产线k上加热炉加工的钢坯索引及钢坯总数，钢坯lk在初始调度方案中给定的入炉时间和出炉时间分别为钢坯lk经调整后入炉时间和出炉时间分别为为生产线k上加热炉的最早可用时间。
Step2：约束检查。
3.5 算法步骤
下面介绍改进NSGA-II算法求解步骤。其中：iter表示算法的迭代次数，maxIter是算法最大迭代次数，Pop表示种群，sonPop表示子代种群，popSize表示种群规模，Pc表示交叉概率，Pm表示变异概率。
Step1：随机生成初始不完全解，执行冲突检测-修复模块获得初始种群Pop。
Step2：初始化参数，包括种群规模popSize、最大进化代数maxIter、交叉概率Pc、变异概率Pm、当前进化代数iter=1。
Step3：判断是否已经生成第一代子群，如果iter=1，转Step4，否则转Step5。
Step4：对父代种群进行非支配排序，再执行选择、交叉、变异操作，最后执行冲突检测-修复模块，获得子代种群sonPop，更新进化代数iter=iter+1。返回Step3。
Step5：将父代种群Pop和子代种群sonPop合并，对合并后的种群进行快速非支配排序，再计算拥挤度距离，最后选出popSize个个体组成新的父代种群Pop。
Step6：对新的父代种群进行选择、交叉、变异操作，再执行冲突检测-修复模块，获得新的子代种群。
Step7：判断迭代终止条件，如果iter>maxIter，则算法终止，否则更新进化代数iter=iter+1，返回Step3。
采用某钢厂生产数据进行仿真实验，其生产配置为2台轧机对应2台加热炉。根据历史数据和专家经验设置加热炉到轧机运输时间为20s、轧机换辊时间为60min，加热炉最小入炉时间间隔为10s，轧机最大待机时长为10min、加热炉容量为（12，14）。根据问题规模设置算法种群规模为100，最大迭代次数为100，交叉概率0.7，变异概率为0.1。
选取一组样本数据进行实验。如表1所示是样本数据的基础信息，包括轧制单元编号、钢坯的额定加热时间、钢坯的轧制时间、轧制单元中钢坯数量等信息。经过算法求解得到调度方案的甘特图，如图2所示。从图中可以发现两条产线的产能负荷分配均匀，轧机出现待机的情况较少。
图2 加热炉-热轧集成调度甘特图
表1 相关的实际生产数据
加热炉-热轧集成调度是一类复杂的组合优化问题。本文考虑实际生产中存在的加热炉容量限制约束，分析了国内某钢厂热轧生产线的特点，以钢坯为调度对象，以提高生产效率和设备利用率、降低能耗为目的，建立了加热炉-热轧集成调度的多目标模型。针对问题特点设计改进NSGA-II算法，通过引入冲突检测-修复模块保证解可行。结果表明，本文所提出的调度方法符合生产实际，能够有效降低加热炉能耗，提高轧机利用率。对降低钢铁企业的生产成本、提高生产效率、均衡生产负荷具有显著意义。
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