罗群女，闵莉花
（南京邮电大学理学院，南京 210023）
图像分割在图像分析和计算机视觉研究中起着重要作用。分割是根据图像特征如强度、纹理、颜色等，将图像分割成具有同质性的有意义区域的过程。然而，由于成像设备不完善或受光照变化的影响，图像中经常出现灰度不均匀的现象，对于图像分割方法的研究提出了严峻挑战。
图像分割技术经过多年发展，涌现出大量研究成果，其中基于变分和偏微分方程的图像分割方法已成为图像分割领域的有效方法之一［1-4］。该方法中使用的分割模型主要分为两类：基于边缘的分割模型和基于区域的分割模型。基于边缘的分割模型通常是利用图像梯度信息引导演化轮廓向目标边界移动［5-6］，但这些模型对噪声和初始轮廓较为敏感，且无法提取模糊和不连续边缘图像的边界；
基于区域的分割模型主要使用区域信息指导轮廓演化。最著名的基于区域的变分模型之一是MS 模型，其目的是找到一个最佳分片光滑函数来逼近原始图像，该模型虽然能取得较好的分割结果，但计算复杂度较高［7］。因此，Chan 等［8］提出基于简化的MS 模型与水平集方法的CV模型，将图像中不同区域的灰度值看成是对应的分片常数，从而能有效地分割灰度均匀图像。
近30 年来，基于模糊聚类的分割方法［9-16］，特别是基于模糊C 均值的图像分割算法得到了广泛研究。该方法的优势主要在于引入模糊度以确定图像中每个像素的隶属度值，从而能够从原始图像中保留更多信息；
文献［14］对标准FCM 算法的目标函数进行改进，以弥补图像强度不均匀的问题，并允许像素标记受到周边影响；
文献［15］提出一个利用局部区域强度信息的相干局部强度聚类（CLIC）算法，用于估计偏移场和分割图像；
文献［16］提出一种用于非均匀图像分割的变分模糊MS 模型，然后利用算子分裂法求解关于隶属度函数的最小化问题。由于引入了隶属度函数，上述模型可有效处理任意多相的图像分割问题。此外，模糊逻辑在活动轮廓法中也得到了广泛应用。文献［17］结合伪水平集函数，提出一种新的基于模糊能量的活动轮廓模型，使得模型不会陷入局部极小解；
文献［18］提出一种基于核函数的模糊活动轮廓模型，该模型对图像中的噪声和异常值具有更强的鲁棒性。同时，为了得到更理想的分割结果，文献［19-20］提出的局部强度信息与全局强度信息相结合的方法也受到了更多关注。
近年来，众多学者也提出一些基于Retinex 理论的图像分割方法［21-24］。2017 年，Zosso 等［22］将Retinex 理论融入CV 模型中，提出了CVB 模型（以下简称Zosso 模型）。之后，Jin 等［23］在CVB 模型基础上提出一种新的变分模型（以下简称Jin 模型），该模型考虑了图像结构部分的分片常数性质，引入全变差正则项以校正与分割输入图像，能够获得相对准确的分割结果，但其没有考虑多相分割。此外，Min 等［24］提出一种分割非均匀图像的变分模型（以下简称Min 模型），由于该模型考虑了偏移场的局部常数先验和全局平滑先验，因此能够获得更精确的分割结果。
本文提出一种新的基于模糊聚类与Retinex 理论的多相图像分割模型，并在交替极小化方法的框架下，设计一种有效算法对模型进行数值求解。实验结果表明，该模型对于真实图像和灰度不均匀的医学图像均能有效进行分割，相比于已有的Cai 模型［1］、Yang 模型［2］、Zosso 模型［22］、Jin模型［23］和Min模型［24］，能得到更准确的分割结果。
一幅大小为M×O的灰度不均匀图像i，根据Retinex理论，可把其看作物体反射（结构）部分s与光照（偏移场）部分b的乘积［25-26］，即：
对等式（1）两边同时取对数变换，并令I0=log(i)，B=log(b)，S=log(s)，则有：
这里，反射部分S表示人眼观察到的真实图像，一般认为是分片常数函数；
B表示图像中的光照偏移场部分，一般认为是光滑函数。
将一幅图像分成N个不同区域，基于隶属度函数［27-28］的概念，图像中每个像素属于各个区域的概率ui(i∈[1，N])，满足两个约束：①0 ≤ui≤1，即所有像素的隶属度函数都是非负的；
②，即每个像素的所有隶属度函数之和为1。
通过引入模糊隶属度函数，本文在Jin 模型的基础上，提出以下模糊变分模型：
这里c=(c1，c2，…cN)，u=(u1，u2，…uN)，c1，c2，…cN为不同区域的平均灰度值，λ、α、β为正参数，N为图像区域的划分数量。
由于变分模型对于每个变量都是凸的，可通过交替极小化算法进行求解。更准确地说，先固定变量(u，B，S)计算变量c，然后固定c以更新(u，B，S)。因此，上述极小化问题等价于：
因此，下面只需讨论问题（5）。
本节首先应用交替极小化算法求解问题（5），通过引入辅助变量d1，问题（5）可转化为下列带约束的优化问题：
将式（7）转换成无约束极值问题，其对应的增广拉格朗日函数为：
其中，ρ、ρ1是正的罚参数，θ、θ1是拉格朗日乘子。
下面用原始对偶算法求解上述鞍点问题。给定第k步的解zk、uk，具体迭代过程如下：
（1）固定uk，求解关于zk+1的子问题：
其中，σ为正参数，δZ是示性函数，定义为：
用投影ProjZ表示在凸集Z上的欧几里得投影，得到zk+1：
应用向前向后分裂（FBS）方法［29］求解上述问题：
首先，给定uk，根据式（25）更新，其中t是迭代步长。
运用Gauss-Seidel 方法进一步得到：
最终求得：
综上，本文算法的具体步骤如下：
算法1基于模糊聚类和Retinex 理论的图像分割算法
本节对医学MR 图像与真实图像进行实验，并通过与Cai 模型、Yang 模型，Zosso 模型、Jin 模型和Min 模型进行对比，验证本文提出模型和算法的有效性。实验运行环境为：PC 机CPU 为AMD Ryzen 5 4600U with Radeon Graphics，操作系统为64位Win10，MATLAB 版本为R2020b。通过采用默认值，并调整每幅图像参数来获得对应的实验结果，以提供最佳的可能结果。在所有实验中，大多数参数采用默认值：β=3，t=0.1，ϵ=10^(-5)，ε=10^(-3)，τ=0.7，σ=0.01。参数α根据偏移场的强度进行调整，对于不同的测试图像，参数λ、α、ρ、ρ1的取值见表1。
Table 1 Parameters settings for images I-IX表1 检验图像I-IX的参数设置
此外，本文选取量化指标Dice 相似系数（DSC）［30］、分割精度（SA）［2］以及kappa 系数（k）作为分割结果的评价标准，其定义分别为：
其中，| · |表示区域面积，R1表示分割后的目标物体区域，R2为对应的真实区域。
SA 是正确分类的像素数目除以像素总数，可表示为：
其中，TP为真阳性数，FP为假阳性数，TN为真阴性数，FN为假阴性数。另外，Kappa系数定义为：
显然，这3个指标的值越接近1，表明分割精度越高。
3.1 模型优势
以二相分割为例，选取3 幅从Weizmann segmentation dataset 数据集中下载的检验图像，将本文模型与没有加入模糊聚类的Retinex 分割模型进行对比，分割结果见图1。
Fig.1 Two-phase segmentation comparison experiments on of different models test images图1 不同模型对检验图像的二相分割结果比较
其中，图1（a）为输入的原始图像，图1（b）-（d）分别为Zosso 模型、Jin 模型和本文模型分割结果。图片I 和图片II的目标对象内部灰度变化较大，且边界较模糊，Zosso 模型和Jin 模型分割结果存在较多不正确的点。观察图III发现Zosso 模型存在分割不足的问题，而本文模型由于引入了模糊隶属度函数，真实反映出图像本身的不确定性，能够从原始图像中保留更多信息，且在交替极小化方法的框架下对子问题u采用向前向后分裂算法求解，通过内外迭代收敛的复合算法使得模型得到更优解，进一步优化了模型的分割性能。图1 的最后一列也显示出本文模型得到了更精确的分割结果。为定量刻画3 个模型的分割性能，表2 记录了3 种方法分割每幅图像的DSC 值、SA 值和k值。可以看出，本文模型在所有方法中的3 个量化指标数值均值最高，因此对于这些检验图像，本文模型更加可靠、稳定。
Table 2 Evaluation results of segmentation effect of different models表2 不同模型分割结果的评价指标结果 %
3.2 多相分割
本节将本文模型用于医学图像的四相分割，并选取3幅脑部MR 图像进行比较，这些图片可从BrainWeb dataset获取得到。其大小都为217*181，切片厚度为1mm，图像都是由T1加权脉冲序列产生（TR=22ms，TE=9.2ms，倾斜角为30°）。在图2 中，第一列显示了3 幅原始的非均匀MR 图像，其是由不同偏移场相乘产生的，最后一列显示了白质（白色）、灰质（灰色）和脑脊液（深灰色）的标准结果（Ground Truth），第二列至第五列依次为：Cai 模型、Yang 模型、Min 模型以及本文模型分割结果。观察图2 可以发现，4 个模型都能得到较满意的分割结果，但后两种算法在对白质和灰质区域的细节保留能力上优于前两种算法，且在黑框内的区域，本文模型得到了比其他模型更准确的分割结果。
表3 给出了各个模型对于3 幅MR 图像所得分割结果的DSC 值、SA 值和k值。可以看出，相比于其他模型，本文模型在白质区域和灰质区域具有更高的分割精度，而在脑脊液区域的精度数值与Cai 模型基本持平，略低于Yang 模型和Min模型。
3.3 真实图像分割
本节验证本文模型对真实图像（其非均匀性未知）进行分割的有效性。图3 展示了4 个不同模型对真实灰度不均匀图像的分割结果，这些图片可从网址（http：//www.imagecomputing.org/～cmli/）和（https：//xiaohaocai.netlify.app/）下载得到。观察图3 可发现，由于图像VII 中的目标对象内部灰度变化较大，因此4 个模型都能产生较好的分割结果；
对于图像VIII，由于目标物体与图像背景的灰度值较为接近，Cai 模型、Yang 模型和Min 模型都存在分割不足的问题，尤其在左下角区域，而本文模型的分割结果更趋近于目标物体边界；
对于图像IX 的分割结果，Yang 模型和Min 模型都存在较多不正确的点，而Cai 模型和本文模型都能很好地分割灰度不均匀图像。以上结果表明，本文模型对于分割真实灰度不均匀图像的有效性。
Fig.2 Four-phase segmentation comparison experiments of different models on MR images图2 不同模型对MR图像的四相分割结果比较
Table 3 Evaluation results of segmentation effect of different models表3 不同模型分割结果评价指标 %
Fig.3 Segmentation results of different models on real images图3 不同模型对真实图像的分割结果
本文针对存在灰度不均匀问题的图像，提出一种基于模糊聚类与Retinex 理论的图像分割变分模型。通过引入模糊隶属度函数，变分模型可定位图像中更多的轮廓信息，高效地执行分割任务。同时，本文设计了一种有效的复合求解算法，即交替极小化方法嵌套向前向后分裂算法。特别地，该复合算法使内迭代与外迭代过程均满足收敛条件，进而精确地求解子问题u，进一步优化了模型的分割性能。此外，本文设计了两相与多相图像分割实验，数值结果验证了算法的有效性与可行性，并通过与几种经典模型比较，验证了本文模型具有更高的分割精度。但复合算法在精确求解问题的同时，也具有一定局限性，即增大了CPU 时间的消耗。未来将对算法运行效率加以改善，同时设计一种自适应参数选取方法，以期获得更理想的分割效果。
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