张国锋，徐 雷，李大双，王 鑫
（四川大学机械工程学院，四川 成都 610065）
近些年，增材制造（3D打印）技术取得了快速发展，社会认知度逐渐提高。3D 打印的产品研制周期短，这提高了设计效率、降低了设计成本［1］。然而，目前3D打印技术尚未成熟，材料成本较高，而模型轻量化是减少耗材的有效手段［2］。拓扑优化方法是目前主要的模型轻量化技术［3］，其主要是将优化空间的材料离散成有限个单元并进行结构分析，再根据特定的优化方式从中去除某些单元，用剩余单元描述研究对象的最优拓扑结构，从而在满足一定性能要求下实现轻量化，常用于结构设计的概念设计阶段［4］。文献［5］提出了基于拓扑优化的桥梁结构优化方法，文献［6］提出了基于密度法的SIMP理论的机罩结构拓扑优化方法，文献［7］提出了基于SIMP方法的白色电动车车身拓扑优化方法。
机械大臂是六自由度工业机器人中基座与机械小臂之间的连接机构，在整个机械臂系统起重要作用。由于机械大臂结构尺寸大、质量重，在满足负载要求的情况下，对其结构进行优化［8］。在传统的产品设计中，未考虑结构在运行过程中所受的载荷和约束的变化，通常是基于制造技术经验对产品组合进行定性分析，结构设计参数仅根据原始经验进行调整，不仅大大增加了设计周期，而且难度较大。同时，为保证其安全性，设计中通常增加结构的刚度和强度，使整体重量的增加，材料无法发挥潜力，难以充分发挥产品性能［9］。基于固体各向同性惩罚函数法［10］（Solid Isotropic Microstructures with Penalization，SIMP）的基本思想，以RB-10-001型工业机器人的机械大臂作为研究对象，开展机械臂3D打印轻量化设计方法研究，提出了基于变密度法的机械臂轻量化设计方法。
固体各向同性材料的惩罚法（SIMP）即变密度法［10］已成为解决拓扑优化问题的最流行的方法之一。变密度法作为连续体结构拓扑优化的主要方法之一，其主要是设计域被离散成一个由X轴上的元素集合NX={1，2，···，x，···，|NX|}和由Y轴上的元素集合NY={1，2，···，y，···，|NY|}定义的有限元单元，将每个单元中元素的相对密度(ρ(x，y)，(x，y)∈NX×NY)作为设计变量(0 ≤ρ(x，y)≤1)［11］。变密度法假定每个单元的刚度矩阵依赖于惩罚因子p相对密度的改变，建立材料相对密度与材料弹性模量间显示非线性的函数关系［12］，如图1所示。随着惩罚因子p的增加，结构刚度逐渐受到惩罚，对给定体积的材料，其中间密度值向两端收敛，在单元网格的约束下拓扑优化单元将重新分布，惩罚因子p一般是通过连续法从下界递增到上界，每一步收敛后p递增，以避免过早收敛到局部最小值［12］。
图1 SIMP密度插值函数模型Fig.1 Density Interpolation Function Model
基于变密度法的数学模型［11］如下：
式中：C（ρ）—给定拓扑的柔度，其由决策变量ρ（x，y）的密度向量ρ定义；
U—全局位移矢量；
F—全局负载向量；
K—全局刚度矩阵；
u（x，y）—元素位移矢量；
k0—元素刚度矩阵；
ρmin—一个包含最低允许相对密度的向量（为避免奇点，保证ρmin＞0）；
V（ρ）—材料体积；
V0—设计域的体积；
f—预先设定的体积分数；
|NX|和|NY|—有限元单元在X轴和Y轴方向上的元素个数。
通过对RB-10-001型工业机器人进行结构分析选取优化对象，并对优化模型预处理，设定拓扑优化条件，选取设计区域［13］，选用HyperWorks中的OptiStruct求解器进行有限元分析，提取拓扑优化模型，对其模型重构，并对重构模型进行有限元分析［14］。有关整个优化过程，如图2所示。
图2 优化过程流程图Fig.2 Optimization Process Flow Chart
3.1 机械臂结构简化与力学分析
RB-10-001 型工业机器人为六自由度机器人模型，如图3所示。其中，在工作过程中，六个关节联合控制它的运动姿态。忽略各关节间附加连接结构的影响，通过模态分析，载荷主要集中于机械大臂两端［8］。因机械大臂与连杆、连杆传动轴、小臂座及大臂座间存在约束与被约束关系，因此将上述结构做整体考虑（为便于表述，将这一整体统称为机械臂），选为优化处理对象。
图3 RB-10-001型工业机器人模型Fig.3 Rb-10-001 Industrial Robot Model
小臂部分处理为刚臂，与臂座相连的箱体处理地面，对机械臂整体进一步几何特征简化，主要包括去除电机、齿轮螺栓等不重要零部件以及部分对应力分布影响不大微小特征如倒角、圆角等，机械臂简化模型，如图4所示。简化工业机器人模型，可减少优化过程中的计算量。通过对RB-10-001型工业机器人运动过程进行分析，以机械手前爪夹持端为集中受力部位，考虑以下三种工况条件，为机械臂结构优化设计时的提供载荷条件。具体工况如下：工况一，夹持端受沿X正方向150N的力；
工况二，夹持端受沿Z正方向150N的力；
工况三，夹持端受沿着Y正方向20N的侧向力。
图4 机械臂简化模型Fig.4 Simplified Model of Manipulator
3.2 机械臂拓扑优化
3.2.1 机械臂优化前处理
使用HyperMesh 对简化模型进行网格划分，大臂部分为壳体，两端是与大臂座及小臂做连接的法兰，具有实体特征。对其直接实体处理，将加大网格量，因此，大臂主体使用壳单元特征，进行2D网格单元划分，以便缩短求解时间，避免网格数量过多无法分析等问题。机械臂主体与两端法兰使用RBE3单元连接；
不考虑轴的变形，均用RBE2 刚性单元简化轴；
轴与孔内壁使用RBE2单元连接；
定义机械臂材料特性参数，将三个工况的载荷分别施加在划分好网格的简化模型上，进行有限元计算。得到位移结果作为拓扑优化设计时的约束条件。
通过有限元分析计算得到位移结果作为拓扑优化时的约束条件。在不同工况下简化模型的位移及应力云图，如图5所示。由图可知，在工况一力的作用下，机械臂的最大位移为0.152mm，最大应力为5.375MPa，经分析连杆及连杆连接轴受力相对较大。在工况二力的作用下，机械臂的最大位移为0.041mm，最大应力为2.349MPa，经分析连杆、连杆传动轴及大臂受力均相对较大。在工况三力的作用下，机械臂的最大位移为0.175mm，最大应力为9.488MPa，经分析因大臂在抵抗侧向弯曲中起主要作用大臂，其应力相对较大。
图5 简化模型不同工况位移及应力云图Fig.5 Cloud Chart of Displacement and Stress in Different Conditions of Simplified Model
3.2.2 机械臂结构优化
经上述分析，可知：（1）臂座全程应力，直接优化，不进行处理。（2）连杆应力分布集中在上下边缘，中部应力相对较小，该部分变形较大，需额外增设优化空间。（3）大臂部分原加强筋效果不明显，改用在中部增设加强筋，进行优化。经SolidWorks重新建模，得到机械大臂优化模型，如图6所示。
图6 机械大臂优化模型Fig.6 Optimization Model of Manipulator
3.2.3 机械臂拓扑优化
采用Altair HyperWorks的OptiStruct求解器来实现机械臂的拓扑优化分析过程。OptiStruct是面向产品设计、分析和优化的有限元和结构优化求解器，其采用数学规划方法，通过求解灵敏度构造近似显示模型，采用小步长迭代找到最优解［15］。
对机械臂优化模型有限元分析，定义极限受载情况，确定拓扑优化设计时的载荷方式为静载。综合考虑各工况的影响，以多工况加权柔顺性为设计目标，参考简化模型结构在各工况的位移云图，定义不同工况下的位移约束，设计变量为单元密度。同时，为实现机械臂轻量化的目的，设定体积函数最小的拓扑优化设计条件，选择体积比上限为0.3，设定最大迭代步100，罚指数3［14］。运行OptiStruct求解器优化计算，得到目标函数迭代38次时收敛效果较好，得到拓扑优化结果，如图7所示。
图7 拓扑优化结果Fig.7 Topology Optimization Results
3.2.4 机械臂模型重构
根据机械臂拓扑优化结果，对优化模型进行重构处理。大臂主体采用类桁架结构，连杆采用普通直杆结构，大臂座做挖空处理，其余结构单元保留原始结构特征。为避免各结构单元连接处产生装配不良的现象，对其做加强处理。最后得到机械臂重构模型，如图8所示。
图8 机械臂重构模型Fig.8 Reconstruction Model of Manipulator
3.2.5 机械臂重构模型有限元分析
对重构模型进行有限元分析，只要重构模型进行网格划分，并设定与优化模型相同的边界条件，定义极限载荷工况。完成上述约束和加载后，通过求解器，计算得到重构模型在不同工况下简化模型的位移及应力云图，如图9所示。由图9可知，在工况一力的作用下，机械臂重构模型的最大位移为0.084mm，最大应力为5.635MPa。在工况二力的作用下，重构模型的最大位移为0.021mm，最大应力为2.72MPa，在工况三力的作用下，重构模型的最大位移为0.126mm，最大应力为3.008MPa。
图9 重构模型工况三位移及应力云图Fig.9 Cloud Chart of Displacement and Stress in Different Conditions of Reconstruction Model
结合3D打印技术能够制造结构复杂的模型，精确的实体复制等特点，对机械臂前后优化模型进行模型试制。开展模型试制的目的在于验证增材制造可靠性以及重量关系，因而将两个模型的三维模型数据按照1：5进行缩放，选用P430XL ABS材质，使用uPrint SE型3D打印机进行模型试制。通过对两个模型的试制研究，发现模型通过3D打印技术在台阶清角、高自由度曲面及复杂镂空结构等细节理想呈现，重构模型中拓扑优化后的3D打印模型，如图10所示。
图10 重构模型3D打印Fig.10 3D Printing of Reconstruction Model
通过分析机械臂原始模型和优化模型位移和应力云图，原始模型与优化模型在相同工况下的位移及应力对比，如表1所示。由表可知，在相同的载荷下，优化模型在的最大位移较原始模型均有减小，满足设计要求；
在工况一及工况二的载荷下，优化模型的最大应力较原始模型略有增加，但最大应力值仍满足材料最大应力要求，同时，应力分布更为均匀；
在工况三的载荷下，应力由9.488MPa 减小至3.008MPa，减小了6.480MPa，说明优化模型提高了机械臂的刚度，提升了其抵抗侧向弯曲变形的能力。
表1 优化前后位移及应力对比Tab.1 Comparison of Displacement and Stress about Optimization
通过HyperMesh中mass calc功能测量出机械臂简化模型及重构模型的理论质量，如图11 所示。通过统一计量秤（精度0.01g）确定经3D 打印试制的两个实物模型的重量，如图12 所示。机械臂优化前后质量结果对比，如表2所示。由表可知，优化前后机械臂理论质量减轻23.68%，优化前后机械臂3D 打印模型质量减轻23.27%，相对误差Δ 为0.41%。结果表明，3D 打印的加工方法具备良好的实体精确复制的特点，其控制加工误差的能力较好。
图11 模型理论质量Fig.11 Theoretical Quality of Model
图12 3D打印模型质量Fig.12 Quality of 3D Printing Model
表2 机械臂优化结果对比Tab.2 Comparison of Optimization Results of Manipulator
基于变密度法的优化策略为连续体的拓扑优化提供了一种优化方法及优化思路，这里在变密度法的理论基础上对RB-10-001型工业机器人中的机械臂进行了轻量化设计与研究，通过分析机械臂模型位移、应力云图和拓扑优化结果，基于增材制造在复杂结构形成中的加工优势，进行了机械臂的二次建模和改造设计，并通过3D打印对模型试制，在保证结构满足性能要求的前提下减轻重量。基于优化前的机械臂的性能和质量比较，满足机械臂的性能要求，达到了机械臂轻量化设计的目的。增材制造技术为复杂零件的加工提供了新的技术途径。采用增材制造技术和拓扑优化的处理方法，实现机械臂的轻量化，与经验方法获得的机械臂相比，获得了更加合理的结构形式。这为机械臂轻量化设计提供了一种设计思路，同时也为其他构件的轻量化设计提供了优化思路。
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