袁建国，张 瑞，张丰果，李志伟，黄 胜
(重庆邮电大学 光电工程学院，重庆 400065)
极化码被采用在第5代移动通信增强移动带宽下无线信道的控制信道标准中，成为当前研究热点[1-3]。而循环冗余校验(cyclic redundancy check，CRC)码辅助串行抵消列表(successive cancellation list, SCL)算法[4-5]在所有极化码方案中占据了主导地位，这种方案的极化码可以和目前极为先进的低密度奇偶校验码拥有相当的性能。为了进一步提升循环冗余校验码辅助极化码(CRC-polar码)的编码算法在高信噪比下的性能，学者们对CRC码进行了研究。文献[6]分析了码长和列表宽度L对极化码性能的影响，以及CRC码在不同信噪比下对极化码性能产生影响的原因。文献[7]设计了一个搜索方法来为标准的CRC-polar码寻找CRC码的最佳生成多项式，通过该多项式能够在译码时减少具有最小汉明权重(minimum Hamming weight, MHW)的错误码字数目，从而提高译码性能。文献[8]设计了保护部分信息比特的CRC码，在大列表下(L=64)比保护所有信息比特有更好的性能。更进一步，文献[9]通过CRC码优化极化码的MHW和信息位的选择，提高了极化码的译码性能。
然而，上述极化码方案都存在译码过程中不能检测并纠正错误比特的问题。为了解决这个问题，分段CRC码辅助极化码方案被提出了[10-12]，这种方案能够在译码过程中纠正错误比特，提高译码性能。但是与奇偶校验(parity check, PC)码辅助的极化码(通常简称为PC-polar码)相比，多重CRC码纠正错误比特的效率低。于是，文献[13]首次提出了奇偶校验码辅助极化码的方案。文献[14]使用循环位移寄存器(cycle shift register, CSR)来设计PC码的校验函数，使得PC-polar码在小列表(L=8)的情况下有比CRC-polar码有更好的纠错性能。
相比CRC码，PC码在译码中能提供更好的纠错性能，但也有检错效率低的缺点，主要体现在：①对于同一个校验函数，增加PC比特的数量并不会提高纠错效率；
②只能检测出奇数个比特出错的情况，而无法检测出偶数个比特出错。与之相反，提升CRC码的比特数目，能够有效地提升其纠错性能。文献[15]结合2种极化码的优点，提出了双重奇偶校验辅助CRC-polar码的编译码算法，相对于原始的CRC-polar码，有效地提高了纠错性能。
借助文献[15]利用2种校验码辅助极化码的思想，本文提出了一种CRC码辅助的PC-polar码(本文简称为CRC-PC-polar码)的编码算法，通过一部分高汉明权重的冻结比特替换信息比特，以及选择低汉明权重的信息比特作为PC比特来共同优化极化码的距离谱，再通过PC码和CRC码的校验函数对SCL译码的候选路径进行筛选，提升正确路径的概率，使得极化码的纠错性能明显提升。
在PC-polar码中，K+f个比特作为非冻结比特集合通过K+f个最可靠的信道传输，这K个比特的索引集合定义为信息比特集合A，A⊂{1,2,…,N}，其中N为信道总个数，N被限制为2n，n为正整数；
f个比特的索引集合定义为PC比特集合Apc；
剩下的N-K-f个不可靠信道用来传输冻结比特，将冻结比特的集合定义为Ac，通常将冻结比特的值全设为0。极化码的码率为R=K/N。
极化码的生成矩阵定义为
(1)
(1)式中：BN为比特反转矩阵；
F⊗n表示F的n次克罗内克积。
(2)
1.1 信道的可靠性排序
在信道的可靠性方面，本文选择文献[16]提出的极化权重信道可靠性估计方法。对于一个给定的子信道索引i，它的二进制扩展为(bn-1,…,b1,b0)2，b为二进制序列元素，对应的极化权重定义为
(3)
(3)式中：b为二进制序列元素；
β为21/4。
通过(3)式可计算出每个信道的极化权重值，从而对信道的可靠性进行排序，极化权重值越高代表信道可靠性越高。选择K+f个最可靠的信道传输作为非冻结比特集合。
1.2 PC比特检验函数的构造
本文的PC比特校验函数利用文献[14]和5G标准中的5位CSR构造，该循环位移寄存器如图1所示。
图1 5位循环位移寄存器的结构图Fig.1 Structure diagram of five-bit circular shift register
算法15位CSR的函数构造算法。
3：初始化：r[1]1=r[2]1=…=r[5]1=0,j=1；
4：fori=2:N+1
5：
运行5位CSR：r[1]i=r[2]i-1，r[2]i=r[3]i-1，
r[3]i=r[4]i-1，r[4]i=r[5]i-1，r[5]i=r[1]i-1；
6：
ifi-1∈A
7：
ifj∉Apc
8：r[1]i=uj⊕r[1]i,j=j+1；
9：
else
10：uj=r[1]i,j=j+1；
11：
end
12：
end
13：end
2.1 极化码距离谱的优化
Polar码在码长有限时，信道极化并不充分，传统的极化码构造过程中，单纯考虑信道的可靠性，导致非冻结比特集合对应生成矩阵的距离谱并不理想，其最小码距较大地影响了极化码的纠错性能。
对于Polar码，其最小码距由其生成矩阵的最小行重，即MHW决定。定义MHW和次MHW集合为
(4)
(5)
本文共分两步对极化码的距离谱进行优化。
第一步，提升MHW。由于传统的极化码构造过程中，仅考虑了信道的可靠性，在冻结比特集合中有部分比特的汉明权重大于dm和ds，因而从这部分比特中选出最大汉明权重集合和次最大汉明权重集合，并用这2个集合中的比特来替换Am中的比特，使得MHW从dm提升为ds。对冻结比特集合的最大和次最大汉明权重集合的定义为
(6)
(7)
(6)—(7)式中：dmax和ds-max分别为冻结比特集合的最大汉明权重和次最大汉明权重。
第二步，减小MHW集合中信息比特的数目。从As中选取最不可靠的f个比特作为PC比特，使得PC比特的值由其保护的信息比特所决定，部分低汉明权重的码字编码后成为不合法的码字，不会出现在编码后的极化码序列中，减小了具有MWH码字的数目，进一步优化了极化码的距离谱。选择最不可靠比特的原因是：①均匀地分布在信息比特序列中，译码时每隔一段时间进行校验；
②让信息比特更加可靠。
2.2 CRC-PC-polar码的编码流程及算法
CRC码辅助PC-polar码的编码是将一段CRC码添加到PC-polar码的末端。其总的编码流程如图2所示。
图2 CRC辅助PC-polar码的编码流程图Fig.2 CRC-assisted PC-polar code encoding flowchart
算法2CRC辅助PC-polar码的编码算法。
1：输入：N,K,f,m；
3：根据(3)式确定所有信道的可靠度，并进行排序；
4：选择最可靠的K+f+m个信道作为非冻结比特集合；
8：else
10：end
11：从As中选择最不可靠的f个比特作为Apc，从剩下的K+m个比特中选择索引值最大的作为Acrc，其余的比特则为A；
2.3 校验码比特数量的确定
因为2种校验比特对于信息比特来说是一种冗余，校验码的比特数量越多，提供的纠错性能就越好，同时冗余度就越大，纠错性能也会下降，所以冗余度和校验码比特数量之间存在权衡问题，需要找到合适的校验码比特数量，使得极化码的纠错性能尽可能地提高。
本文采用了2种校验码，通过控制变量法来选取2种校验码的比特数量。图3展示了极化码码长为512、R=1/2和信噪比(signal noise ratio, SNR)为3.2 dB的情况下，CRC纠错性能表现较好的3个CRC比特数量6、8、10在不同PC码比特数量下的性能表现。本文采用的仿真条件是：二进制相移键控调制，加性高斯白噪声信道，SCL译码，列表宽度L=16，选用如表1所示的CRC码的生成多项式。
图3 不同PC码比特数量的性能表现图Fig.3 Performance graph of different PC code bits
表1 CRC码的生成多项式Tab.1 CRC code generator polynomial
由图3可知，在CRC码比特数量为6、8、10时，PC码比特数量分别为6、6、7时性能最优，因此，选择这3种组合的校验码比特数量：①m=6，f=6；
②m=8，f=6；
③m=10，f=7。
2.4 编码后的极化码结构图
编码完成的极化码简易结构图如图4所示，图4中，CRC-polar码是文献[7]提出的CRC码辅助极化码结构，PC-polar码是文献[14]提出的PC码辅助极化码结构，Segmented-CRC-polar码是文献[10]提出的分段CRC码辅助极化码结构，CRC-PC-polar码是本文提出的CRC码辅助PC-polar码结构。
图4 4种极化码结构的对比图Fig.4 Comparison diagram of four polarization code structures
本文提出了一种CRC码辅助PC-polar码的编码算法。为了验证该算法纠错性能的优越性，选择m=6、f=6，m=8、f=6和m=10、f=7这3种组合的校验码比特数量，构造了码长为N=512，码率R=0.5的极化码，并与其他极化码进行了仿真对比分析，得到的纠错性能对比图如图5—图7所示。
图5 m=6、 f=6时的性能对比图Fig.5 Performance comparison chart at m=6、 f=6
图6 m=8、 f=6时的性能对比图Fig.6 Performance comparison chart at m=8、 f=6
图7 m=10、 f=7时的性能对比图Fig.7 Performance comparison chart at m=10、 f=7
由图5可知，本文提出的CRC-PC-polar码在m=6、f=6、BLER=10-5时，相比于CRC-polar码、Segmented-CRC-polar码和PC-polar码分别有约0.2 dB、0.4 dB、0.3 dB的净增益。
由图6可知，本文提出的CRC-PC-polar码在m=8、f=6、BLER=10-5时，相比于CRC-polar码、Segmented-CRC-polar码和PC-polar码分别有约0.1 dB、0.2 dB、0.4 dB的净增益。
由图7可知，本文提出的CRC-PC-polar码在m=10、f=7、BLER=10-6时，相比于CRC-polar码、Segmented-CRC-polar码和PC-polar码分别有约0.2 dB、0.3 dB、0.4 dB的净增益。
将本文提出的3种极化码进行性能对比，得到图8。由图8可知，CRC-PC-polar(CRC8, PC6)和CRC-PC-polar(CRC10, PC7)码均可在SNR约3.1 dB时，BLER到达10-6，且CRC-PC-polar(CRC8, PC6)码在低信噪比区域表现更好，因此，在提出的3种极化码结构中，CRC-PC-polar(CRC8, PC6)表现最优。
图8 3种极化码性能对比图Fig.8 Performance comparison chart of the three proposed polarization codes
为了提高PC-polar码检错效率，使之具有CRC码同样高效的检错效率，提高其误码率性能，本文提出了一种CRC码辅助的PC-polar码的编码算法。
首先，利用冻结比特中最大汉明权重和次最大汉明权重集合的部分比特，替换非冻结比特集合中MHW集合中的所有比特，增大极化码的最小码距，并从次MHW集合中选择PC比特进一步优化极化码的距离谱；
其次，通过5位CSR优化PC码的校验函数，减少极化码串行译码导致的比特错误；
然后，加入了检错效率较高的CRC码；
最后，通过优化，得到了CRC码辅助的PC-polar码的结构。经过仿真验证，本文提出的编码算法所构造的CRC-PC-polar(CRC8, PC6)码，在SNR为1到3.5 dB的时候，整体纠错性能明显优于其他几种码型。