潘海鸿，马忠睿，乜聘广，梁 安，陈 琳
(1.广西大学机械工程学院，南宁 530004；
2.广西安博特智能科技有限公司，南宁 530007)
机器人的绝对定位精度是工业机器人至关重要的性能。机器人运动学参数标定可以提高绝对定位精度，为此学术界和工业界都进行了大量研究[1-3]。而运动学参数标定所需的参数包括关节扭角、关节偏距与连杆长度通常与机器人本身的机械结构有关。标定好后的机器人在运输和安装到制造区域后，这些参数一般不会发生太大变化。然而，机器人在使用过程中可能出现机器人的原点位置出现偏差等情况[4]，进而导致上位机理论计算模型与实际机械模型不符，精度下降，工具坐标系标定出错等问题[5]。CONRAD等[6]提出97%的机器人精度问题是由机器人原点偏移引起的。
尽管现有的补偿机器人原点的方法有很多，例如可通过基于拉线式传感器或激光跟踪仪的运动学标定来重新标定机器人原点位置。将原点位置作为参与运动学计算的参数在精确的数据下被辨识出来，但精确的测量数据所需求的设备较为昂贵，且标定时间较长、过程复杂[7]；
另外，机器人本体上一般也有定位的凹槽帮助找回原点位置[8]，但找回后机器人定位精度很低。周祥等[9]研究了基于点约束对工业机器人的零位标定，论述了约束点分布对标定的影响。该方法需借助于PSD与线激光进行多点标定；
秦娟等[10]根据机器人的停放点相对于零位接近开关的位置自动选择最近的归零路径，以零位接近开关和编码器信号共同判断最终零点。该方法舍弃了机器人运动学模型，易造成实际模型与理论模型的不一致而引入其他误差；
CHEN等[11]在机器人工作空间中跟踪一条激光线，在跟踪过程中记录机器人的关节角度。利用关节角数据，可以估计机器人的零位偏移量。然而该方法采用的模式搜索方法容易产生局部极小值。
实际工业环境中机器人往往需要一个通用的、简易的原点位置找回的方式。为此，提出一种考虑关节权重的原点位置补偿方法。以基于原点误差的机器人运动学为基础，结合各关节转角对末端位置影响的权重，建立位置误差模型，完成机器人工具坐标系和原点位置的补偿。最后，利用激光跟踪仪测量补偿后机器人的绝对定位精度来验证该算法的有效性。
工业机器人首先要准确计算出基坐标系到第6连杆坐标系的位姿关系，即机器人本体相邻坐标变换模型[12-13]。在机器人零件在加工后，零件尺寸大小及精度都已经确定。关节转角是机器人唯一的几何参数变量，当关节原位时的转角因为某种因素而发生改变，机器人位姿变换矩阵也会出现偏差，导致实际机器人末端实际位姿与正运动学计算的理论位姿不一致，进而影响机器人末端的绝对定位精度。假设第i关节出现原位偏差δi，则基于原位误差的坐标变换模型为：
(1)
因此，结合原点误差的机器人前向运动学方程为：
(2)
实际应用过程中，需要在机器人末端加装工具进行作业。作业点(TCP点)相对于机器人以第6轴坐标系中心为原点的坐标系位姿关系，体现了工具的位姿信息。
如图1所示，假设工具坐标系与第6轴坐标系的姿态保持一致，则[14]：
图1 机器人工具坐标系
(3)
式中，x、y、z为TCP点相对于第6轴坐标系原点的位置。
(4)
则TCP点在基坐标系下的表达为：
C=R[xyz]T+C′
(5)
2.1 各个关节转角误差对末端精度的影响
采用控制单一变量的方法，分析关节原位误差对末端精度的影响，获取各关节的转角误差在机器人末端位置误差影响因素中的比重。
在假定某一关节转角存在误差，其余参数的误差均为0的情况下，通过将该参数误差加上名义几何参数代入到结合原位误差的正运动学方程(2)中，计算出此时的机器人末端位置值，并与名义位置值进行比较，得出该参数误差影响下的末端位置误差值，由此可逐一分析在各关节转角参数误差单独影响下的末端位置误差。
由于机器人在不同位姿下，几何参数误差对末端位置误差的造成的影响程度不一样，因此可将所有关节变量统一归结为时间t的函数，即可通过控制t值来获取多组关节变量值。
令关节1、2、3的转角θi与时间t满足公式
θi=Aicos(t)+Bi
(6)
式中，Ai与Bi为待定系数；
t为取值范围在0～2π之间的时间变量，则cos(t)∈[-1,1]；
i为关节序号1～3。
为能更好反映出几何参数误差对末端位置精度的影响，获取的关节变量值应尽可能使机器人末端所到达的点均匀分布于其工作空间范围内，即θi的取值范围为机器人各关节设定的限位角度范围内θi∈[θiMIN,θiMAX]。
则带入边界条件，当cos(t)=-1时，θi=θiMIN；
当cos(t)=1时，θi=θiMAX。
即：
(7)
上式可以得到系数Ai与Bi的解：
(8)
则节1、2、3的转角θi与时间t的关系表达式为：
(9)
同理，令关节4、5、6的转角θj与时间t满足：
θj=Cj·t+Dj
(10)
式中，Ci与Di为待定系数；
t与式(6)相同；
j为关节序号4～6。带入边界条件得到：
(11)
即机器人各关节取值范围可得到关节变量与t的函数关系式为：
(12)
2.2 位置误差建模与求解
在机器人基坐标系下的可达工作空间内任意位置选定一个固定顶点P。由式(5)可知，不同姿态机器人TCP点与基坐标系的实际位置关系保持不变，如图2所示。即：
图2 不同姿态时TCP点与固定点P的关系
ΔC=Cn+1-Cn=0
(13)
式中，n为第n种姿态；
Cn为第n种姿态下TCP点基于基坐标系下的位置。
(14)
由式(13)和式(14)可知，同一姿态下理论位置与实际位置偏差为：
(15)
当引入以上参数误差后，存在微分变化，使得：
(16)
进一步得到：
(17)
(18)
Δτ=(Δθ1,…,Δθ6,Δx,Δy,Δz)
(19)
λ=[kθi,kx,ky,kz]
(20)
式中，Δτ是一个包含9个需要辨识的参数误差组成的列向量；
λ是可通过已知条件计算得到的系数矩阵。
由式(18)建立的误差模型可知，为获得机器人所求参数误差值，须对机器人末端进行多组数据采样，并将采样数据代入误差模型中构成超定方程组，通过寻求方程组的最小二乘解作为所求参数误差值的近似解。最小二乘解的形式为[15-16]：
(21)
(22)
(23)
求所有位置偏差的平均值E作为判定是否满足精度要求的条件。最后当平均值E小于设定阈值ε时得到最终解[17]。否则将当前的参数误差再次带入模型迭代优化。原点补偿算法流程如图3所示，i为循环次数。
图3 原点补偿算法流程
根据第2节各个关节转角误差对机器人末端的影响分析，利用MATLAB对其结果进行逐一分析6个关节转角误差对机器人末端位姿误差的影响大小。假设在第i(i=1,2,…,6)个关节转角θi存在0.1°的误差，其它几何参数误差均为0的情况下，通过将该参数误差代入运动学方程中计算出末端实际位置值，并与名义位置值对比。
同样，在机器人末端到工具坐标系的变换矩阵式(5)中，由六点法标定得到的工具末端中心x、y、z的值。采用控制单一变量法，假设x、y、z分别存在1 mm的误差，仿真分析其对末端位置的影响。
图4 关节转角误差与工具坐标系偏差下的末端位置误差分布图
(24)
经过计算得出各关节位置误差平均值如表1所示。
由表1可知，在关节转角存在0.1°误差的情况下，各关节对末端位置误差影响的权重大小排列为：关节2、3、1、5、4、6。为此在仅考虑关节转角误差的情况下，若机器人末端存在较大误差时，应优先考虑关节2的造成的影响。
表1 0.1°关节转角误差下的末端位置误差平均值
由表2可知，无论工具坐标系x、y、z的值分别存在多大的误差，其对末端位置总体的影响均为恒定的。
表2 工具坐标系各方向1 mm偏差下的末端位置误差平均值
4.1 实验平台
以川崎RS010N型工业机器人搭建实验平台(如图5所示)，其主要包括机器人本体、上位机控制系统、Radian激光跟踪仪、电气控制柜等。
图5 川崎RS010N型工业机器人实验平台
根据D-H法建立川崎RS010N型6自由度工业机器人运动学模型，机器人各关节坐标系如图6所示，机器人D-H参数如表3所示。
图6 机器人D-H参数坐标系
杆件编号θi/(°)αi/(°)ai/mmdi/mm0-10+θ1-9016501-2-90+θ2055002-30+θ3-9021003-40+θ49007004-590+θ5-90005-60+θ6000
将表3中的几何参数代入式(1)，可得6个齐次变换矩阵。最终机器人第6轴连杆相对于基坐标系的变换矩阵可由式(2)得到。
4.2 原点补偿实验
首先，按照两步误差补偿法[18]对一台川崎RS010N型6轴串联机器人进行原点与D-H参数标定。记录下此时机器人的各个关节原位误差值，如表4所示。
表4 机器人原点位置值
然后，在机器人端部的法兰盘末端安装一个带有尖点的工具(如焊枪等)，同时使用另一个工具尖点位置作为固定约束点，如图7所示。
(a) 末端实验安装总览 (b) TCP与固定点的相对位置
采用6点法对机器人末端工具坐标系进行标定，计算出此时TCP点坐标值作为标准值，如图8a所示。
通过第3节仿真分析可知，关节1、2、3对机器人末端位置的影响大于关节4、5、6对末端位置的影响。所以手动修改关节原位误差值和工具坐标系的值时，关节1、2、3的原位误差值修改幅度大于关节4、5、6的原位误差值修改幅度。重新设置关节原位误差与工具坐标系后TCP点坐标值如图8b所示。
(a) 标准TCP点坐标值 (b) 重新设置后TCP点坐标值
最后，将两者之间的偏差值记录如表5所示，作为给定偏差值以便原点补偿实验计算出的偏差值与之相比较，用以判断原点补偿方法的可行性。
表5 机器人原点位置和工具坐标给定偏差值
手动示教机器人以不同的姿态使机器人工具末端点接触固定点，通过上位机记录下关节角数据，一共记录20组关节角数据作为原点补偿数据。
将得到的关节角数据代入式(18)的原点补偿模型，计算出对原点位置与工具坐标的补偿结果。利用MATLAB辨识出的结果如图9所示。
图9 MATLAB计算出的补偿结果
通过图9中MATLAB计算出的补偿结果与表4中给定的偏差值对比发现，关节1、3、4、5的设定偏差值与补偿结果较接近，两者误差小于0.03°。关节2的设定偏差值与补偿结果相差最大，达到0.08°。工具坐标系中在y方向的设定偏差值与补偿结果相差最大，达到0.03 mm。总体上补偿结果比较接近设定的偏差值。为进一步验证原点补偿算法的正确性与准确度，利用激光跟踪仪测量对比补偿前后的机器人绝对定位精度差别。
4.3 绝对定位精度验证
根据国家标准《GB/T12642-2013工业机器人性能规范及其试验方法》[19]中对机器人位置准确度检测方法的规定。首先，在机器人工作空间正前方的一块正方形区域内选取5个测试点，控制机器人按一定顺序循环运动。通过激光跟踪仪测量每个点的实际位置，如此循环30次，完成初始D-H参数标定后的绝对定位精度检验，如表6所示。
表6 测试点D-H参数标定后平均实际位置误差 (mm)
重置原位误差与工具坐标系的值后，控制机器人重新运动到上述5个测试点，使用激光跟踪仪重新测量这5个测试点的实际位置；
然后，操作机器人以相同的方式循环运动30次，并记录其末端实际位置，计算绝对定位精度如表7所示。
表7 测试点原点补偿前平均实际位置误差 (mm)
完成原点补偿后，修正原点位置值与工具坐标系的值后，再次测量计算与上述相同位置的5个测试点绝对定位精度，如表8所示。
表8 测试点原点补偿后平均实际位置误差 (mm)
位置准确度表示指令位姿和从同一方向接近该指令位姿时的实到位姿平均值之间的偏差，偏差值越小，机器人位置准确度越高。由表6～表8及补偿前后的绝对定位误差对比图10可知，机器人末端在测试点处的平均绝对定位误差由D-H参数标定后的0.371 3 mm增加到8.215 2 mm，平均绝对定位精度降低30倍左右。在原点补偿后，测试点处的平均绝对定位误差由原点补偿前的8.215 2 mm下降到0.722 4 mm，平均绝对定位精度提高88%左右。相较于梅浩[20]在考虑关节柔性的零位标定前后平均位置误差降低43%。所提出的在考虑关节权重的原点补偿方法可以有效的找回原点位置。
图10 补偿前后机器人国标5点绝对定位精度对比
为准确获取原位丢失后各关节的原点转角误差，围绕各关节转角对末端位置精度的影响权重；
末端TCP
点与固定约束点之间的几何关系；
参数误差建模与辨识进行研究。具体包括：
(1)基于机器人所有关节转角变量与时间的映射关系，研究得到第2关节对末端位置误差影响最大；
(2)基于各关节对位置精度的影响权重，建立原点位置误差模型，采用最小二乘法辨识原点转角误差参数。实验表明各关节原点转角辨识误差均小于0.08°；
(3)依据国标进行绝对定位精度验证实验，结果显示原点补偿前后机器人平均绝对定位精度提高88%左右。进一步表明基于关节权重的原点补偿算法具有较好的补偿效果。
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