洪惠宇
（中国电子科技集团公司第十四研究所，江苏南京 210039）
极坐标格式算法（polar format algorithm，PFA）是一种典型的聚束模式成像方法［1］。该算法通过二维插值将极坐标格式数据投影至直角坐标系，通过二维傅里叶变换，即可实现对大斜视数据的良好聚焦。然而在利用PFA 算法实现远距离高分辨成像过程中，由于所需二维矩阵规模庞大，需要进行大量的距离/方位向插值处理，占用大量的硬件运算资源，限制了PFA 算法的工程应用［2］。因此，现有的PFA 工程化应用主要从二维插值的高效实现着手。
美国Sandia 实验室提出Chirp-Z 变换应用于PFA 的可行性，孙进平等［3］则对该可行性进行了具体研究，并给出了详细的实现过程；
文献［2，4］提出通过尺度变换替代二维插值以提升处理效率，并给出尺度变换因子的具体确定方式；
聂鑫［5］从数据录取源头出发，提出变波门大斜视滑动聚束成像技术，降低了距离向采样点数的需求；
吴玉峰等［6］则对PFA 成像算法进行改进，提出了一种先线性距离走动校正，后PFA 插值的方法。本文着眼于降低数据矩阵规模，通过改进的运动补偿及方位处理算法，使得原本需要在全距离频域段进行的插值处理只需要在有效距离幅宽内进行插值，原本需要在全孔径时间内进行的方位插值处理只需要在有效方位幅宽内进行方位频域插值，极大地降低了插值运算资源的开销，提升了PFA算法的实时处理性能。
雷达发射的线性调频（LFM）信号表达如下：
其中，矩形窗函数rect（x）为
式中：τ为雷达快时间维变量，s；
Tp为脉冲宽度，s；
f0为载波起始频率，Hz；
k为调频斜率，Hz/s。
极坐标格式下，PFA 成像场景几何示意图如图1所示。
合成孔径雷达（synthetic aperture radar，SAR）利用机载雷达平台的运动实现方位向的高分辨率成像，其在孔径时间t的二维基带回波信号s（τ，t）可表示为：
式中：Ta为合成孔径积累时间，s；
RT为场景中目标点p（xt，yt）相对于雷达平台的距离，m；
c为光速，取c=3×108m/s。
根据驻项原理及傅里叶变换的位移/调制性质，得到距离频域S0（fτ，t）：
式中：fτ为雷达快时间τ的频域表示，Hz。
频域脉压参考函数H（fτ）为：
现有PFA 算法直接乘以运动补偿函数ψ（fτ），使场景中心回波相位为零。
式中：R0表征孔径时刻t雷达相对场景中心的距离，m。
经过匹配滤波与运动补偿后的信号用S（fτ，t）表示，如式（6）所示。
在近场平面波假设下，有：
式中：r表示图1 中从坐标原点O指向场景中目标点p（xt，yt）的矢量；
θ、φ分别为孔径时间t下的方位角、俯仰角，rad。
得到极坐标格式下距离频域S（fτ，t）的表达：
式中：Ky、Kx为波数域，1/m。
在式（8）全距离频域段进行距离向插值，在全孔径时间内进行方位向插值，并将极坐标格式排列的数据通过插值变成矩形坐标，再通过距离方位向的二维快速傅里叶变换（fast fourier transform，FFT），实现对场景的二维成像。
现有PFA 算法在运动补偿后，在全距离频域段进行距离向插值，而后在全孔径时间内进行方位向插值，占用大量运算资源。为了降低插值的运算开销，提升处理效率，本文提出改进的PFA处理流程，如图2 所示。图2 中，通过二次运动补偿算法，PFA 算法只需在有效成像幅宽内进行距离向插值处理；
再通过改进的方位向处理方法，在有效方位幅宽内进行方位频域插值处理。
2.1 二次运动补偿
图2 中，针对运动补偿函数ψ（fτ），提出“粗补偿+精补偿”策略。在粗补偿校正线性距离走动后，再经过逆快速傅里叶变换（inverse fast fourier transform，IFFT），在距离向保留成像距离幅宽所需点数，以降低后续距离向插值的点数。
雷达相对于场景中心的距离随孔径时间t的变化R（t）表达如下：
式中：RB为航线相对于场景中心的垂直距离，m；
v为雷达平台速度，m/s。
为简化分析，这里的雷达与场景位于同一平面，即俯仰角φ为0。将式（9）在孔径中心时刻t0（此时斜视角为θ0）处进行泰勒级数展开，得到合成孔径时间t内的距离徙动表达，如式（10）所示。
由式（10）可知，孔径时间内的线性距离走动可表示为：
式中：θt为每个录取脉冲相对于场景的斜视角，rad。
从而得到距离粗补偿相位分量：
结合式（3）、式（12），得到粗补偿后的回波信号，如式（13）所示。
对式（13）进行逆傅里叶变换至距离时域，得：
其中，sinc(x)函数定义为
此时，已完成孔径时间内线性距离走动校正。可在此基础上进行距离向的截断，只保留成像幅宽需要的距离向点数，从而降低了距离向插值点数的需求。
进一步，对截取后的距离时域信号进行傅里叶变换至距离频域，表达式同式（13），但距离频域点数已压缩至距离幅宽所需的点数。
此时，通过精补偿分量使式（13）场景中心回波相位为0。剩余距离分量表示为：
从而得到距离粗补偿分量表达：
通过上述补偿后，得到回波距离频域信号：
同样，此时回波距离频域信号相对于场景中心的回波相位为0。后续只需在有效幅宽点数上进行距离插值处理，得到
式中：Ky′为距离插值后的波数域表达，1/m；
φ0为孔径中心时刻的俯仰角，rad。
由式（18）可知，相较于全距离频域段的插值，二次运动补偿后的运算量大幅降低，提升了处理的效率。
2.2 改进的方位向处理方法
距离向插值完成后，现有PFA 处理方法是在全孔径积累脉冲内进行方位向插值，而后分别进行方位与距离维的FFT处理以实现二维成像。这种方法由于需要在时域全孔径积累脉冲内进行插值，运算开销大。为了减少运算开销，本文将改进方位处理方法，利用傅里叶变换的尺度特性，首先进行方位FFT处理，从而可以在方位向只保留成像方位幅宽所需的点数，继而进行方位频域的插值处理，从而降低方位插值的运算点数，提升实时性能。
距离向插值完成后，式（8）中方位波数域可进一步表达为：
现有PFA 算法直接在全孔径积累脉冲内进行方位向插值：
改进的方位处理方法如下：
距离频域插值后的信号表示为：
对式（21）进行方位向傅里叶变换，得
在得到方位频域的结果后，基于图像方位向输出像素点数远小于原始方位积累脉冲数这一前提，保留方位向幅宽需要的点数，从而只需在方位幅宽内进行插值处理，就能极大地降低方位插值所需的运算量。
在方位频域进行重采样，其重采样后的峰值频率f′a为：
由式（24）可知，峰值频率位置与距离向无关，从而完成方位向的去距离耦合。
农场虽然耕地面积较大但大型谷物联合收割机和配套农具数量多远多于地方，部分合作社和农户要等到农场收获完成后租赁农场机械进行收获作业，错过了最佳收获时期无法保证颗粒归仓。
3.1 两种算法的运算量对比
从距离维与方位维两个角度，将现有PFA 成像处理算法与PFA 改进算法进行运算的对比分析。
3.1.1 现有PFA算法
距离维：传统PFA 成像处理算法在运动补偿后，需在全距离频域段进行插值处理，所需的运算量（针对复数乘法器的开销）为：
式中：γ为加权系数，R为插值滤波器长度，L为插值滤波器因子，Nr为距离向采样点数。
方位维：传统PFA 成像处理算法对全孔径积累脉冲进行插值，结合后续FFT 处理，运算开销为：
式中：Na为全孔径的积累脉冲数。
3.1.2 PFA快速处理算法
采用本文二次运动补偿处理后，距离维的运算开销：
式中：Ir为图像距离幅宽所对应的点数。
采用改进的方位处理算法，首先进行方位FFT 处理，继而保留成像所需的方位幅宽点数Ia，在方位频域进行插值处理，其运算开销为：
为比较两种算法的运算量，定义距离评估因子、方位评估因子和综合评估因子如下：
显然，评估因子越小，运算开销就越小，运算方法越有优势。
3.2 两种算法运算量对比的评估因子验证
对于满足一般要求的插值滤波器，取γ=1.2、R=5、L=5，则在典型矩阵规模下，两种算法运算量评估因子的对比如表1所示。
由表1 可知，在大斜视远距离高分辨成像需求的背景下，由于二维矩阵的规模较大，采用本文的PFA 改进算法，在不影响成像指标的前提下，比现有的PFA 算法可节约近一半的运算量，大大提升了处理的实时性能，便于实现其工程应用的推广。
表1 两种算法运算量的评估因子对比Table 1 Evaluation factors comparison of computation between two algorithms
本文从传统PFA 算法的运算量着眼，从距离维与方位维两个角度，着重于降低数据矩阵的规模，从而减少距离/方位向的插值点数，以达到节约运算量、提升实时处理效率的目的。具体地说，在距离维，通过“粗补偿+精补偿”的方式，即通过距离粗补偿校正孔径时间内的线性距离走动，继而变换至距离时域，截取成像需要的距离幅宽点数，再变换回距离频域，进行使场景中心回波相位为0的精补偿处理；
在方位维，利用傅里叶变换的尺度特性，在方位插值前进行方位FFT处理，继而截取成像所需的方位向点数，再在方位频域进行插值处理。最后通过两种算法的对比，发现在大斜视远距离高分辨成像需求的背景下，采用本文的PFA 改进算法，在不影响成像指标的前提下，可节约近一半的运算量，从而大大提升了处理的实时性能，有利于其工程应用的推广。