宋俊强，李晓山，王硕，顾开放，潘虹，王鑫
（中国石油 新疆油田分公司 勘探开发研究院，新疆 克拉玛依 834000）
致密油藏压裂水平井产量初期递减快，后期递减慢，呈现两段或多段式递减特征，导致单一经验模型产量预测难度大且准确度低；
而准确预测单井产量是提高开发效果及经济效益的基础。
现有的产量预测方法包括经验法[1-2]、现代产量递减分析法[3]、神经网络学习法[4]和数值模拟法[5-6]。这些方法大多以统计数据为基础，只考虑产量随时间的变化，难以匹配压裂水平井的多流态生产特征[7-8]，无法准确评价水平井全生命周期产量。因此，基于不同经验递减模型适用条件，前人提出了一系列组合模型。如按递减率变化速率相等处为组合点的组合模型，但是出现递减率相同的节点必须有足够长的生产时间，难以实现不同生产阶段的产量预测[9]；
以产量为组合点，虽然预测模型跳跃现象明显减弱，但不符合递减率连续性特征，同时早期阶段也无法预测[10]；
将不同模型赋予不同的权重，建立目标函数，通过最优化算法，确定最佳的预测方法组合，虽可适用于不同的生产阶段，但失去了各模型的物理意义，且增大了拟合难度[11]。
笔者从经验递减模型与流态的关联性出发，提出了以边界控制流时间为节点的新型组合模式，同时根据节点处的产量相等和递减率相等，推导出了新型分段产量预测模型，并给出了边界控制流时间及该模型的求解方法，可预测不同生产阶段的单井全生命周期产量。
根据Arps 产量递减模型[12]，当递减指数为0 时，可特殊化为指数递减，其特点是单位时间内产量下降与产量成比例，即递减率为定值，为现场常用模型，其产量和时间的关系为
指数递减的递减率：
而借鉴的SEPD 模型，则是一个基于经验的公式[13]，其表达式如下：
该模型的递减率：
前人通过对不同经验递减模型与渗流流态特征相关性研究，总结不同经验模型的适用阶段[14]。其中，Arps 递减模型以边界控制流为主导，主要适用于生产后期产量拟合预测；
SEPD 模型以不稳定流和过渡流为主导，主要适用于生产前期产量预测；
两者的组合节点可用边界控制流时间控制[15-16]。本文采用指数模型与SEPD模型进行组合：
为了使模型连续，使2 个模型在节点处的递减率、产量全都相等，可推出指数模型的初始产量、递减率与SEPD模型参数的相关公式：
将（6）式代入（5）式，形成改进后的新型分段递减模型：
2.1 边界控制流时间的确定
诸多学者对致密油藏压裂水平井的渗流规律进行了研究，普遍把压裂水平井的流动阶段划分为早期线性流阶段、拟径向流阶段、复合线性流阶段和边界控制流阶段[7-8]。理论上，利用经验模型进行产量预测，其预测结果与油井生产历史中的流态阶段有关，不同流态阶段的预测结果不同。边界控制流作为压裂水平井在线性流之后常表现出的一种流动特征，其在物质平衡时间与规整化产量的双对数曲线上为斜率等于-1的直线。
物质平衡时间：
规整化产量：
在变压生产时的物质平衡时间与规整化产量的双对数曲线上，可将线性流斜率为-1/2的切线与边界控制流斜率为-1 的切线的交点作为边界控制流时间点（图1），但该交点对应的时间为物质平衡时间，需进一步转化为实际生产下的边界控制流时间，才能运用于新型分段递减模型[13-14]。研究表明，到达边界控制流后期，产量较低，累计产量降低，物质平衡时间快速增加，实际生产时间的变化速度较物质平衡时间的变化速度小，导致实际生产时间随物质平衡时间在后期变的较为平缓。这种特征与Langmuir 吸附曲线形态相似，可用其建立物质平衡时间与实际生产时间的关系，再将判别出的物质平衡时间条件下边界控制流时间代入拟合公式，即可获取实际生产下的边界控制流时间（图2）：
综上所述，可针对已到达边界控制流时间的生产井进行判别计算，构建广义回归神经网络（GRNN）学习数据体。
2.2 基于GRNN算法的边界控制流时间预测
依据边界控制流时间的确定方法，只能判断已达到边界控制流时间的晚期生产井，对未达到边界控制流时间的生产井需要进行预测，才能使用（7）式进行分段产量预测。油藏开始受到边界控制流影响的时间和油藏半径有关，并且与扩散常数成反比，边界控制流时间的简易计算公式为[17]
对致密油藏压裂水平井而言，其井控半径与水平井段长度、压裂级数、裂缝半长以及井距具有一定的相关性，而裂缝半长与压裂液体积、支撑剂量相关。考虑原油黏度和综合压缩系数在同一油藏变化不大，压裂水平井的边界控制流时间可用孔隙度、渗透率、水平井段长度、压裂级数、井距、压裂液体积和支撑剂量的非线性函数表示。
GRNN 是一种以非线性回归为基础的神经网络模型[18]，具有数据样本的要求较少，概率意义明确，具较好的泛化能力，可逼近任意类型的函数[19]，因此可采用GRNN对边界控制流时间进行预测。
本文在GRNN 学习过程中，输入层单元为孔隙度、渗透率、水平井段长度、压裂级数、井距、压裂液体积和加砂量7 种；
模式层中神经元节点数k为学习样本数，其神经元传递函数：
求和层有2 个神经元，分别为Pi的算术求和神经元与加权求和神经元；
输出层只有1 个单元，即边界控制流时间，其值为加权求和神经元与算术求和神经元的比值。
上述学习过程中最主要的参数为光滑因子，其较小时导致模型无法收敛，较大时易出现过拟合现象[20]，因此通常设置其取值范围为0～1。光滑因子优化通常采用果蝇算法、粒子群算法、蝙蝠算法等，考虑粒子群算法具有较高的准确度[20-21]，本文采用该算法。
粒子群算法是模拟鸟类觅食，用一群粒子来实现全局搜索寻优智能算法[21]，每个粒子具有位置、速度和适应度3 个特征属性。粒子在空间中运动，通过跟踪、比较新粒子与个体极值和群体极值的适应度，来获取最优；
其速度与位置的变化可通过（13）式和（14）式计算；
适应度函数按计算实际值与预测值之间的均方差处理。
粒子速度：
粒子位置：
适应度：
本算法中粒子为GRNN 的平滑因子，具体粒子群算法优化GRNN算法的实现过程如下。
①考虑样本数据之间存在量纲差，为避免产生较大误差，对输入样本进行归一化处理：
②设定粒子数目、权重因子、学习因子、循环迭代次数、最大速度、最小速度和粒子位置，随机初始化粒子位置和速度。
③将归一化后的学习样本和初始化粒子位置（粒子位置即光滑因子）代入GRNN 中，训练GRNN 模型，确定适应度值。
④更新粒子的个体极值和群体极值，优化粒子位置和速度，确定新粒子的位置。
⑤判断适应度值是否满足结束条件，若不满足，重复步骤②—④；
若满足，输出粒子位置，并将其映射到GRNN中，训练GRNN模型。
⑥训练完成后，将预测参数带入优化的GRNN中，计算预测值（表1）。
表1 边界控制流时间的学习样本及模型预测结果比较Table 1.Learning samples and model prediction results for BDF time
3.1 模型的预测流程及求解方法
根据推导的新型分段产量预测模型及边界控制流时间确定方法，提出了新型分段产量模型的评价预测流程。该模型以流态划分为基础，未达到边界控制流时，可利用前期的生产数据采用SEPD 模型用迭代试差和最小二乘法直接拟合出模型参数[13]；
达到边界控制流时间后，采用全局连续的分段最小二乘法曲线拟合求解。
迭代试差和最小二乘法拟合求解方法：①将分段模型中的SEPD模型两端取双对数，变成lnq与tn的关系；
②假设n为定值，可用生产数据构建出lnq与tn的关系，即用最小二乘法拟合得出特定n下的拟合度；
③n的取值范围为0～1，n按0.001步长不断迭代，可求出不同n下的拟合度；
④通过比较拟合度，可求出lnq与tn的最佳线性拟合关系下的n，通过最佳线性关系的斜率与截距可求出相应的参考产量及特征弛豫时间；
⑤将求出的参考产量、特征弛豫时间及预测的边界控制流时间代入（7）式，求出新型分段产量预测模型。
全局连续的分段最小二乘法拟合求解方法：①将分段模型（7）式进行两端双对数处理，变成线性函数；
②按照（17）式构建拟合均方差误差函数f（qo,n,τ）；
③假设n为定值，可用边界控制流时间前的实际数据构建出lnq与tn的线性关系后，采用最小二乘法拟合得出特定n下的参考产量及特征松弛时间；
④将特定n下的参考产量、特征松弛时间、预测的边界控制流时间及实际对应的产量代入误差函数f（qo,n,τ），求出其误差；
⑤将n以0.001的步长迭代，计算出不同n下的误差函数，求出拟合误差函数最小时的模型参数，即为分段模型拟合度最佳的参数。
拟合误差函数：
3.2 实例分析
以玛湖油田早期压裂水平井MH6004 井为例，进行模型分析。该井孔隙度为11.4%，渗透率为2.80 mD，水平井段长度为938 m，压裂级数为12，井距为400 m，压裂液体积为13 535 m3，加砂量为836 m3。设定粒子数目为30，权重因子为0.6，学习因子为2，循环迭代100 次，最大速度为0.01，最小速度为-0.01，粒子最大值为1，粒子最小值为0.01；
计算得出的光滑因子为0.011 8，边界控制流时间为807 d。
为降低生产波动的影响，将生产数据按月平均日产油量处理，按常规产量预测方法，用指数式拟合达到边界控制流之后的生产数据，设计平均产油1 t/d为废弃产量，预测累计产油量达4.30×104t。同时利用本文模型、SEPD 模型、指数模型分别按边界控制流之前的早期阶段（2～25 月）及边界控制流之后（2～33 月）拟合预测，对比不同预测方法所得结果的差异（图3、图4）。结果表明：针对早期与到达边界控制流后，在相同拟合阶段下，本文模型比SEPD 模型和指数模型的拟合度高，其预测误差小于5%（表2），而SEPD 模型预测产量明显偏高，指数模型预测产量偏低。造成该现象的原因是SEPD模型以不稳定流和过渡流为主导，拟合预测时递减率逐渐减小，但实际生产过程到边界控制流后遵循指数规律，递减率几乎不发生变化，导致其预测结果比常规方法大；
指数模型较适用于生产中后期的边界控制流阶段，而压裂水平井生产前期主要以裂缝的线性流和不稳定流为主，产量从迅速下降到缓慢下降转变，导致利用指数拟合时，递减 率较大，预测产量偏低。
表2 不同模型预测结果对比Table 2.Comparison of prediction results from different models
（1）SEPD 模型以不稳定流和过渡流为主导，指数模型以边界控制流为主导，进而通过2 个模型在边界控制流时间处的产量相等和递减率相等，推导得到了以边界控制流时间为节点的新型分段产量预测模型。
（2）提出了物质平衡时间与真实生产时间的拟合转换关系，形成了生产条件下边界控制流时间确定方法；
同时边界控制流时间与地质、工程等参数具有非线性相关特征，可通过GRNN 算法，根据相关已知参数进行早期井边界控制流时间的预测。
（3）以边界控制流时间为节点的新型分段产量预测模型，对于早期及到达边界控制流后的晚期生产井，均具有较高的预测精度，可解决SEPD模型及指数模型预测结果偏高或偏低的问题。
符号注释
c1、c2——学习因子；
Ct——综合压缩系数，MPa-1；
d、m、α、β——相关拟合系数；
Di——递减初期递减率，d-1；
Dt——递减率，d-1；
E——适应度，即均方差；
Gbest——群体极值；
k——神经元节点数，正整数；
K——渗透率，mD；
M——样本个数；
n——时间指数，无因次，范围为0～1；
NP——累计产油量，m3；
pr——地层压力，MPa；
pwf——井底流压，MPa；
Pi——模式第i层的输出；
Pbest——个体极值；
q——产油量，m3；
qi——递减初期产油量，t/d；
qo——参考产量，t/d；
q（ti）——ti时间下的真实产量，t/d；
r1、r2——分别为［0，1］的随机数；
re——井控半径，m；
t——时间，d；
tcd——物质平衡时间，d；
telf——边界控制流时间，d；
tmax——实际生产最大时间，d；
tture——实际生产时间，d；
vi——第i次循环时当前粒子的速度；
vi+1——第i+1次循环时当前粒子的速度；
xi——第i次循环时当前粒子的位置；
xi+1——第i+1次循环时当前粒子的位置；
X——神经网络输入变量；
Xi——第i个神经元对应的学习样本；
-Xi——归一化后的第i个神经元对应的学习样本；
Yi——第i个预测学习样本值；
yi——第i个真实学习样本值；
φ——孔隙度，%；
μ——黏度，mPa·s；
σ——光滑因子；
τ——特征弛豫时间，d；
ω——权重因子，一般取0.4～0.9；
Δp——压差，MPa。
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