李宝莲, 张 倩, 谢海瑶
(1.中国电子科技集团公司第五十四研究所，河北 石家庄 050081;2.北京理工大学 信息与电子学院，北京 100081)
李宝莲,张倩,谢海瑶.电子设备的可靠性指标评估方法研究[J].石家庄铁道大学学报(自然科学版),2022,35(1):106-112.
电子设备的可靠性统计评估主要是根据产品在使用期内的寿命分布类型以及与该电子产品进行可靠性评估有关的所有信息(包括产品的先验使用经验信息和样本的可靠性试验信息)[1]，然后利用各种概率统计分析方法对产品的可靠性合同指标平均故障间隔时间(Mean Time Between Failure，MTBF)进行概率统计分析推断，包括点估计、区间假设估计和线性假设检验等。
文献[2]中所规定的可靠性统计试验方法是以工程中通常假设的电子产品寿命服从指数分布为前提的。试验统计方法一般可以分为定时截尾试验统计方法、序贯截尾试验统计方法、全数试验统计方法(这里不作讨论)。
1.1 参数的选取原则及关系
试验方法参数包括研制方风险α、生产方风险β、MTBF的检验上限θ0、MTBF的检验下限θ1和鉴别比d，除全数试验方法外，其他试验其实是一种抽样的试验方法，选择何种试验方法及参数尤为重要。
(1)α、β的选取[3]。试验方法参数α、β、θ0、θ1确定后便确定了试验方案，即确定了总试验时间T和责任故障数r；
θ0和θ1在合同或者任务书中已经规定好时，则α、β取值越大，T用时越短；
α、β取值越小，T用时越长。因此，在设计试验方案时应考虑生产方和使用方所能承受的试验时间、试验经费等因素，选择合适的α和β；
GJB 899给出的试验方案中α、β值均介于10%～30%之间，国内外可靠性鉴定试验的α、β取值一般也都在此区间内，按照生产方和使用方相互平等的原则，一般α和β取值相同[4]。
(2)θ0和d的选取。电子产品的可靠性水平在其使用寿命期内往往是不断变化增长的。研制方的合同或者任务书中MTBF的指标要求为最低可接受值或规定值。最低可接受值是检验设备在设计定型之前必须达到的指标，是设备进行质量考核或设计验证的重要依据；
规定值是用户方期望设备能够达到的最低指标，是研制方在以后的研制过程中进行可靠性设计和定型的重要依据。θ1取最低可接受值，θ0可以取规定值；
d可以取规定值与最低可接受值的比值。
选定一组α、β、θ0、θ1的方案参数时，α、β、d从小到大，试验方案严苛性逐渐降低，相应地判决结果置信度从高到低。试验要得出接收或拒收的结论，同时要利用总试验时间T和责任故障数r等信息对产品的MTBF真值作出估计[5]。另外θ0、θ1是试验方案的参数，而不是MTBF的真值范围。以某组α、β、θ0、θ1、d参数制定的试验方案及判决标准只能判决产品在该方案下通过试验与否；
该试验方案通过后，说明假设的MTBF上限值θ0与下限值θ1是成立的，该批产品的MTBF值一般不会低于θ0或θ1的数值。
1.2 可靠性试验分类及适用
定时截尾试验方案是选定方案后须按要求进行完试验时间，即使最后一个故障数出现的很晚也不能提前作出接收判决；
除非试验期间故障数出现较多作出拒收判决可提前结束。序贯截尾试验方案是进行完总试验时间或达到责任故障数后，作出接收或拒收的判决，判据标准为出现的责任故障数或者试验时间。
表1为文献[2]中不同试验方案的序贯试验与定时截尾试验的时间对比情况，可见，在电子产品的可靠性试验中，在α、β和d相同的情况下，当设备的MTBF真值接近θ0或θ1时，采用序贯试验统计方案通常能较快地作出接收或拒收判决，同时也说明序贯试验适用于设计较成熟产品的可靠性试验[4]。而对于MTBF真值较大或较小的产品，不同的序贯试验方案所需的总试验时间差别较大，因此在计划费用和时间时应综合权衡选择序贯截尾试验还是定时截尾试验。
表1 序贯试验判决时间与定时试验时间对比表
2.1 定时截尾试验方法的确定
电子产品的定时截尾试验中，接收产品的概率P(θ)与MTBF的真值θ的关系可用泊松公式表示为
(1)
式中,T为总试验时间；
a为试验时间内判定电子设备被接收时所出现的最大故障数；
P(θ)为在时间T内发生的故障个数小于等于a的概率。P(θ)需满足关系：P(θ0)=1-α，P(θ0)=β。
其中注意：由于a表示的是故障数，所以a的取值只能为整数。
工程中要求采用定时截尾试验方法时，规划者根据试验方案参数(α、β、θ0和θ1)，并结合试验费用和试验进度，综合权衡确定试验方案进而确定试验时间T和最大接收故障数a。
根据试验是按时间截尾还是按故障结尾，试验中故障件是否有替代等须考虑4种不同类型的试验。按以时间截尾、有故障件替换的情况考虑，试验截尾时间T、接收故障数a按公式(2)推导得出
(2)
2.2 定时截尾试验方法中MTBF的估计值和验证估计区间的确定
采用定时截尾试验方法时，试验结束后，需要评估合同指标MTBF数值，以及规定置信度C(默认为双侧验证区间的置信度)对应的置信区间[6]，一般取C=(1-2β)×100%。
(1)定时截尾试验方法中MTBF的点估计值
(3)
式中,T为电子产品的有效总试验时间；
r为试验期间发生的责任故障数。
(2)定时截尾试验中MTBF的双侧验证区间
(4)
式中,θL(C′，r)和θU(C′，r)分别为置信下限系数和置信上限系数，其计算公式为
(5)
将式(3)、式(5)代入式(4)，得出
(6)
接收被试产品时，MTBF观测值的双侧验证区间的置信下限θL和置信上限θU分别用式(6)计算，表述为置信度为C的MTBF验证区间为(θL，θU)。
拒收被试产品时，此时可称为定数截尾试验，MTBF观测值的θL和θU用式(7)计算
(7)
(3)定时截尾试验MTBF的单侧置信区间。
在对被试产品MTBF的验证值进行估计时，若试验期间发生的责任故障数为0，则用到单侧置信限估计。MTBF单侧置信度C′=(1+C)/2，用于表示置信下限θL′的可信程度。例如，在接收时(实际属于定时截尾)，MTBF观测值的单侧置信区间的置信下限
(8)
2.3 定时试验提前作出接收的评定
确定了定时截尾试验方案，则T、a和d也就确定了，作出接收结论时不可以提前结束试验，而在拒收时可以提前结束。例如选用文献[22]中方案17进行试验时，即使第1、2个责任故障相继发生的很晚也不能提前作出接收判决，只有完成了总试验时间T=4.3θ1的试验后才可能作出接收判决。定时试验提前作出接收评定的方案是对试验方案作出了修正，允许管理者或试验者提前作出评定而保证决策风险α和β具有统计有效性。
以下介绍提前作出接收判决的处理方案。提前评定统计方案的接收时间ti见文献[2]，表A.14中接收时间ti也是用θ1的倍数表示的。如果试验进行到ti时至多出现i个责任故障，则可作出接收评定。定时试验管理者提前作出评定后或订购方和承制方约定采用表A.14中的统计方案时，按下述程序估计接收或拒收情况下的MTBF观测值和验证区间。
(1)MTBF观测值(点估计)θ的估计
(9)
式中,ti为产品在第i个责任故障接收时的总试验时间(θ1的倍数)；
i为接收时的责任故障数。
(2)MTBF的验证区间。
根据产品所采用的定时试验统计方案和作出提前接收时的责任故障数i，由文献[2]中表A.17查出置信度为C′时的单边置信下限系数θL(C′，ti)和置信上限系数θU(C′，ti)。
按式(10)计算出置信下限系数θL和置信上限系数θU
(10)
3.1 序贯截尾试验方法的确定
序贯截尾试验作为一种抽样检验的试验方法，需要事先约定被试产品在某个截尾时间内的可接收的故障数和拒收的故障数，根据此规则，将试验过程中累积的有效试验时间和故障个数与规定的判别区间进行比较，作出接收或拒收的判定[7]。
对于具有未知MTBF值的指数型产品，在累积工作时间t内发生r次故障的概率为
(11)
序贯试验必须证明MTBF值至少不小于MTBF检验下限θ1。如果实际MTBF确实等于MTBF检验下限θ1，则在工作时间t内发生r次故障的概率为
(12)
为了构造出序贯试验，需要选择MTBF检验上限θ0。如果产品的MTBF等于θ0，则在工作时间t内发生r次故障的概率为
(13)
(14)
在试验期间持续计算该比例并与预先规定的2个常数A和B进行比较，使用以下决策准则判定：
(1)如果P(r)变得
(3)如果B
(15)
可见常数A、B与试验方案参数α、β、d有关。
以下为推导序贯试验图解程序的过程
(16)
取自然对数得：lnB 在不等式的各项中都加上(1/θ1-1/θ0)t，然后各项都除以ln(θ0/θ1)得到 (17) 只要r的数值在不等式左右两边的数值之间，则继续试验； a+bt (18) 图1 序贯试验接收-拒收判决图 其中 (19) 将这2条直线画在以t(累积试验时间)为横坐标、r(故障数)为纵坐标的图纸上时，常数a和c为这2条线在纵坐标上的截距，b为斜率，如图1所示。 由图1可见，序贯试验的判据规则，接收线L0：r=a+bt，接收线L0以下叫接收区； 实际工程中，为了防止试验长期停留在继续试验区，画出一条水平线(r=r0)和一条垂直线(t=T0)限定试验截尾区域，选取满足下述关系的故障数r的最小整数成立 (20) (21) 序贯试验结束后，也需对MTBF的置信限作出估计，根据序贯试验判断法则，接收判决是在总试验时间统计够接收判决时间时才能作出，而拒收判断则在试验过程中任何时刻都可能发生，因此接收置信限和拒收置信限的计算方法是不同的。 (1)序贯试验达到接收判据时，MTBF的置信区间的单侧置信度为C′的置信下限θL和置信上限θU按式(22)计算[2]，MTBF的双侧置信区间表述为：(θL。θU)，(置信度=C)。 (22) 式中,ti为达到接收判决时的责任故障数i时的试验时间； (2)作出拒收判决时，此时总试验时间为T，MTBF的单侧置信度为C′的拒收置信下限θL和拒收置信上限θU按式(23)计算，表述为拒收时置信度为C的MTBF的置信区间为：(θL，θU)，(置信度=C)。 (23) 式中，t为标准化总试验时间，t=T/θ1，ti θL(C′，t)=θL(C′，ti)+[θL(C′，ti+1)-θL(C′，ti)](t-ti)/(ti+1-ti) (24) θU(C′，t)=θU(C′，ti)+[θU(C′，ti+1)-θU(C′，ti)](t-ti)/(ti+1-ti) (25) 式中，θL(C′，ti)为置信度为C′、责任故障数为i时的置信下限系数，查询表A.10可得； 某信息设备的合同中规定平均故障间隔时间MTBF≥180 h，设备定型前需要进行可靠性指标考核，约定采用定时截尾试验的标准型试验统计方案14，试验参数见表2，总试验时间T=7.8×180=1 704 h。 表2 标准型定时试验统计方案14的试验方案参数 受试验经费和项目进度的制约，当试验时间T为554 h，需给出评估结果，试验期间内责任故障数为0。试验方案14的参数为：α=β=20%，θ1=180 h，置信度C=(1-2×0.2)×100%=60%，单边置信度C′=80%。 此时实际试验时间554 h=3.1θ1，小于7.8θ1，按照标准型方案14还需继续试验，这时可以考虑采用定时试验提前决策方案，查询文献[2]表A.14中定时试验统计方案14管理者提前评定的接收时间ti，t0=2.7θ1<3.1θ1 由于故障数为0无置信上限，根据式(10)得置信下限系数θL：θL=θL(C′，ti)×θ1=1.678×180=302.04 h。 则，按照方案14管理者提前评定方案作出接收评定，MTBF的单侧置信下限为302.04 h(置信度为80%)。项目后续继续进行试验时间和故障数的统计工作，以便更准确评估设备的MTBF指标。 另外可以考虑采用序贯试验方案来进行，取相同的试验参数α=β=20%，则选择标准型序贯试验方案4，鉴别比d取值为2。下面计算该方案4的接收-拒收判据、截尾点、统计方案曲线的斜率和纵坐标截距。 (1)由式(15)得出A=3，B=0.25。 (2)按下列步骤计算截尾点：查表χ2分布(1-α)和β上侧分位数，直到下式成立为止： 图2 某信息设备接收-拒收判决标准图 (3)根据式(19)得出2条平行线的斜率和纵坐标：a=-2，b=0.004，c=1.58； 结合文献[2]中方案4的接收-拒收判决标准图得出该信息设备接收-拒收判决标准图如图2所示，判决标准表可参见文献[2]的图A.5所示。故障数为0无置信上限，根据式(22)计算置信下限系数θL，得：θL=θL(C′，ti)×θ1=1.739 7×180≈313.15 h。 由以上分析可见，该信息设备采用序贯试验方案时试验时间T为554 h、故障数为0时可以直接作出接收判决，MTBF的单侧置信下限约为313.15 h(置信度为80%)。 分析了试验方案参数之间的关系，结合可靠性统计试验定时截尾试验、定时提前接收试验、序贯截尾试验各自特点，分别给出了MTBF的计算过程以及区间估计计算方法，应用在某信息设备的可靠性指标MTBF验证评估中，采用定时试验提前接收方法作出的判决，与采用相同试验参数时的序贯试验判据结果一致。研究结果对工程实际中如何选择合适的试验方案具有一定的指导意义。
如果r不大于左边，则作出接收判决，试验终止；
如果r不小于右边，则作出拒收判决，试验终止。观察不等式两边的表达式，在试验方案及试验方案参数已经确定的情况下，不等式两边的表达式表示了2条相互平行的直线，不等式可以表示为
拒收线L1：r=c+bt，拒收线L1以上叫拒收区，L0与L1之间为继续试验区[8]。
3.2 序贯截尾试验MTBF置信限的确定
C′为单侧置信度；
θL(C′，ti)为置信度为C′、责任故障数为i时的置信下限系数，查询表A.8可得；
θU(C′，ti)为置信度为C′、责任故障数为i时的置信上限系数，查询表A.9可得。
θU(C′，t)为t时刻置信度为C′的拒收置信上限系数。
θU(C′，ti)为置信度为C′、责任故障数为i时的置信上限系数，查询表A.11可得。4.1 定时试验提前作出接收评定示例
4.2 序贯试验应用示例
则，接收线为a+bt=-2+0.004t，拒收线为c+bt=1.58+0.004t。