肖志涛
（广州华立学院, 广东 广州 511325）
Pexider方程是Pexider J V在文献[1]中提出的一组方程，形式如下：
并给出了方程在实数域 R上的连续解。一直以来，很多人致力于这组方程的研究，得到了许多有意义的成果，文献[2-7]研究了Pexider方程在不同区域上解的情况，文献[8-9]讨论了可加Pexider方程在集值函数空间的稳定性，文献[10-14]讨论了几类Pexider方程和时滞方程在不同赋范空间上的解及稳定性。本文研究如下形式的广义Pexider方程：
其中 αk,βk,γk为常数，且αkβkγk≠0,(n≥2)。通过赋值转化方法，得到了上述方程的通解。
首先，本文给出下面的引理[15-16]：
引理1设f是定义在 R 上的连续函数，如下几个方程
f(x)+f(y)=f(x+y)，∀x,y∈R
f(x)f(y)=f(x+y)，∀x,y∈R
f(x)+f(y)=f(xy)，∀x,y∈R+
f(x)f(y)=f(xy)，∀x,y∈R+
在不考虑平凡解f≡0的情况下，分别有解为
f(x)=f(1)x，(x∈R)
f(x)=ecx=ax，(c为任意常数，x∈R)
f(x)=clnx，(c为任意常数，x∈R+)
f(x)=xc，(c为任意常数，x∈R+)
下面，将引理1推广为一般的形式，有
引理2设f是定义在R 上的连续函数，如下几个方程
在不考虑平凡解f≡0的情况下，分别有解为
f(x)=f(1)x，(x∈R)
从而有
于是，有
将式(7)、(8)代入方程(1)，整理可得
由引理2可得
φ(x)=φ(1)x
f(x)=ecx=ax，(c为任意常数，x∈R)
f(x)=clnx，(c为任意常数，x∈R+)
f(x)=xc，(c为任意常数，x∈R+)
证明由引理1可得结论成立。
由式(5)、(6)可得
定理1设fk(1 ≤k≤n+1,n≥2) 是定义在R 上的连续函数，广义Pexider可加方程(1)在不考虑平凡解fk≡0(1 ≤k≤n+1,n≥2)的情况下，有解为
证明在方程(1)中，固定某个xk=x,令其他n−1个xk=0，有
定理2设fk(1 ≤k≤n+1,n≥2) 是定义在 R上的连续函数，广义Pexider指数方程(2)在不考虑平凡解fk≡0(1 ≤k≤n+1,n≥2)的情况下，有解为
证明由于不考虑平凡解，在方程(2)中固定某个xk=x, 令其他n−1个xk=0，有
从而
于是
将式(11)、(12)代入方程(2)，整理可得
由引理2可得，上式有解
φ(x)=ecx=ax，(a>0)
由式(9)、(10)可得
定理3设fk(1 ≤k≤n+1,n≥2) 是定义 R+上的连续函数，广义Pexider对数方程(3)在不考虑平凡解fk≡0(1 ≤k≤n+1,n≥2)的情况下，有解为
证明在方程(3)中固定某个xk=,令其他n−1个xk=1，有
从而有
于是，有
将式(15)、(16)代入方程(3)，整理可得
由引理2可得
φ(x)=clnx
由式(13)、(14)可得
证明由于不考虑平凡解，在方程(4)中固定某个xk=,令其他n−1个xk=1，有
从而
于是
将式(19)、(20)代入方程(4)，整理可得
由引理2可得，上式有解
φ(x)=xc，(c∈R)
由式(17)、(18)可得
