摘要：针对协变量随机缺失的乘积模型，结合逆概率加权（inverse probability weight，IPW）、絕对乘积相对误差（least product relative error，LPRE）及非参数核估计方法，研究该模型中参数的估计问题。在一定的条件下，证明了提出的估计具有渐近正态性。最后，通过随机实验检验了新方法的有限样本表现。
关键词：乘积模型;随机缺失;IPW;LPRE
中图分类号：O212.7文献标志码：A
乘积模型是一类重要的参数模型，能够处理非负响应变量的情况，具体形式如下：
针对协变量缺失的回归模型，已有一些学者进行了研究。2011年，杨[12]基于经验似然方法，研究了协变量随机缺失的线性模型的参数的置信区域构造问题。2012年，李[13]基于最小二乘、逆概率加权（inverse probability weight，IPW）及局部核光滑方法，研究了协变量随机缺失的单指标模型的估计问题。2016年，刘[14]在不完整数据下，结合复合分位数方法，研究了参数及半参数模型的估计的统计性质。
然而，还未有学者在相对误差LPRE的视角下，研究协变量随机缺失的乘积模型。因此，作者结合LPRE、IPW与非参数核估计方法，研究协变量随机缺失的乘积模型。
1估计方法
2理论性质
3模拟仿真
由表1和表2可以看到，在各种误差分布、缺失率及样本量下，由于LPRE-CC估计是有偏估计，LPRE-CC具有较大的Bias，因此导致MSE也较大;LPRE-NIPW和LPRE-IPW相比，具有较小的SD，该结果和定理2的结论是一致的;LPRE-NIPW与LPRE-CC和LPRE-IPW方法相比，具有最小的MSE，也就是说LPRE-NIPW方法比其他两种方法更有效。再有，固定样本量，随着缺失率的增加，3种方法的MSE都增大，即估计效果都变差;固定缺失率，随着样本量的增加，3种方法的MSE都减小，即估计效果都变好。
值得注意的是，现实中由于真实的选择概率是未知的，因此LPRE-IPW估计实际上是不可获取的。LPRE-NIPW方法在使用非参数估计方法估计选择概率时由于使用了更多的样本信息，估计效果优于LPRE-IPW方法。综上，可知使用LPRE-NIPW方法估计协变量随机缺失的乘积模型的未知参数具有较好的效果。
4总结
主要结合LPRE、逆概率加权及非参数估计方法，研究协变量随机缺失的乘积模型的估计问题。在一定的条件下证明了LPRE-IPW与LPRE-NIPW估计的渐近正态性，通过比较两者的协方差矩阵1和2，发现LPRE-NIPW估计具有更小的方差。最后通过随机模拟，比较LPRE-CC、LPRE-IPW及LPRE-NIPW方法的表现，结果显示LPRE-NIPW相比LPRE-IPW具有更小的SD，相比LPRE-CC具有较小的Bias，相比LPRE-IPW和LPRE-CC具有最小的MSE，从而验证了LPRE-NIPW方法的有效性。此外，本文的研究方法可推广至协变量随机缺失的半参数乘积模型，研究结果可为进一步研究协变量随机缺失的半参数乘积模型提供一定的理论基础。参考文献：
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（责任编辑：曾晶）
Weighted LPRE Estimation for Multiplicative
Model with Missing Covariates
LIU Huilan*
（School of Mathematics and Statistics， Guizhou University， Guiyang 550025， China）Abstract：
Based on inverse probability weight （IPW）， least product relative error （LPRE） and non-parametric kernel estimation methods， the estimation methods for the multiplicative model are studied when the covariates are missing at random. Under some regular conditions， the asymptotic normality of the proposed estimators is proved. Finally， some simulations are conducted to evaluate the finite sample performance of the new methods.
Key words：
multiplicative model; missing at random; IPW; LPRE459EE679-44BB-44BD-8CBE-ABA3FE118A74