一道2011年江苏高考试题的另一个思维视角的探究:英语高考试题江苏

　　（2011年江苏卷8）[WTBX]在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f （x）=　　2x的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是 .　　解：[WTBX]P、Q两点关于原点O对称，不妨设P（m，n）为第一象限中的点，则
　　m>0，n>0，n=2m，所以|PQ|2=4|OP|2=4（m2+n2）=4（m2+4m2）≥16（当且仅当m2=4m2，即m=2时取等号）故线段PQ的长的最小值是4.
　　本题上述解法主要考查函数、基本不等式性质等基础知识，换一个思维视角，实际上函数y=
　　2x即xy=2是一条特殊的二次曲线---非标准式的双曲线，它的实轴所在直线方程为x-y=0过原点，所以本题中过原点直线PQ截双曲线两支最短长度为实轴长2a=4.
　　但很多学生对曲线y=kx （k>0）只是一知半解，所以笔者对它作了分析研究.以供读者参考.
　　一、非标准式双曲线y=
　　kx（k>0）由标准式双曲线
　　x2-y2=2k（k>0）逆时针旋转45°可得
　　证明：设M（x，y）是双曲线
　　x2-y2=2k（k>0）上的任一点，经逆时针旋转45°所得对应点
　　M′（x′，y′）.
　　由题可得：
　　cos45° -sin45°
　　sin45° cos45°
　　x
　　y
　　=x′
　　y′
　　转化得
　　22
　　x-
　　22y=x′
　　22
　　x+
　　22y=y′
　　
　　x=x′+y′
　　2
　　y=y′-x′
　　2
　　.
　　代入可得
　　（x′+y′2）2-
　　（y′-x′2）2=2k
　　化简即为x′y′=k，所以
　　M′（x′，y′）所在的曲线方程为
　　y′=kx′（k>0）.
　　二、 非标准式双曲线
　　y=kx（k>0）一些常用的的几何性质：（1）对称中心
　　O（0，0），实轴所在直线方程x-y=0，虚轴所在直线方程x+y=0（2）实轴和虚轴长相等都为
　　22k，焦距2c=4k，离心率
　　e=2（3）顶点坐标分别为
　　（-k，-k），
　　（k，k）
　　焦点坐标
　　（2k
　　，2k）（-2k，-2k）（4）渐近线方程
　　x=0，y=0准线方程
　　x+y-2k
　　k=0，x+y+2k=0.
　　以上几何性质都可以用旋转对应方式证明出，在这就不作重复.
　　非标准式双曲线
　　y=kx（k<0）也有类似的性质，读者不妨自证.

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