摘要： 根据拉格朗日中值定理建立了变权背景值构造形式，背景值权值采用具有全局寻优能力的模式搜索法求解，工程实例应用结果显示基于模式搜索法改进的单桩极限承载力灰色预测模型提高了预测精度，具有更好的工程应用价值。
Abstract： According to the Lagrange"s mean value theorem， the paper established variable weight background value structure form. The background value right value uses pattern search method of global optimization ability to solve， engineering example application results show that the improved single pile limit bearing capacity grey forecasting model based on pattern search method improves the accuracy of the predictions， and has better applied value in engineering.
关键词： 极限承载力；灰色预测模型
Key words： ultimate bearing capacity；grey forecasting model
中图分类号：TU71 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2012）32-0094-02
0 引言
目前应用最广泛的是单桩极限承载力非等步长灰色预测模型，但是该模型是以紧邻均值为背景值进行参数估计的，这就造成了该模型的白化方程和灰微分方程达不到统一，因此根据拉格朗日中值定理提出了变权背景值构造形式，并采用具有全局寻优能力的模式搜索法求解背景值构造中的权值，建立基于模式搜索法改进的单桩极限承载力灰色预测模型。工程实例应用结果显示改进的单桩极限承载力灰色预测模型提高了预测精度，具有更好的工程应用价值。
1 非等步长灰色预测模型的建模机理
将由静荷载试验得到的沉降S看作广义时间，建立荷载序列的一阶动态微分方程GM（1，1）模型，即非等步长GM（1，1）模型。
记原始荷载序列为：
Q■（i）■ Q■（1）=Q■（1）
对该序列进行一次累减得到序列：
Q■（i）■ Q■（i）=Q■（i）-Q■（i-1） i=2，3，…，n
按灰色系统建模方法可得到一个一阶线性微分方程，记为GM（1，1）：
■+aQ■=b （1）
式中：a为发展系数（1/mm），b为灰作用量（kN/mm）。
按灰色系统理论有
■=■=■ （2）
Q■=■Q■（k）+Q■（k-1）=Z■（k） （3）
Z■（k）称为背景值。
将式（2）、（3）代入式（1）有
Q■（k）=-aZ■（k）S■（k）+bS■（k） （4）
按式（4）由最小二乘法可以求得
[a b]■=B■ B■B■Y
式中：
B=S■（2） 0 S■（3） ？埙0 S■（n）-Z■（2） 1-Z■（3） 1┇ ┇-Z■（n） 1 （5）
Y=Q■（2） Q■（3） … Q■（n）■
则微分方程（1）的解为
■（k）=Q■（1）-■e■+■ k=1，2…，n （6）
对式（6）取极限可以得到单桩承载力极限值的预测结果，即
Q■=■■（1）（k）=■ （7）
2 基于模式搜索法改进的预测模型
非等步长灰色预测模型在利用最小二乘法求解参数时，将其一阶线性微分方程（1）变形为式（4），而在变形时默认了式（2）、（3）的成立，因此式（2）、（3）应该是一一对应，也就是说存在点S■（ξ），■Q■（k）+Q■（k-1）（k-1<ξ
此时导数■对应的点为S■（λ），Q■（λ），而Q■（λ）=■Q■（k）+Q■（k-1）并不一定成立，也就是式（1）和式（4）并不一定是等同的，因此利用（4）式作为最小二乘法计算式所得的参数估计值并不一定是最佳估计值。那么需要对其进行改进：
首先，对于背景值构造，为了使式（2）和式（3）一一对应，本文建立了以下变权背景值形式
Q■=p■Q■（k）+1-p■Q■（k-1）=Z■（k） 0？燮p■？燮1。
显然存在p■值使Q■（λ）=p■Q■（k）+1-p■Q■（k-1）成立，只是由于原始数据并不可能是规则序列，因此每两个数据之间的p■值并不一定相同，而对于少数据预测的灰色模型，我们所要求的p■值并不是很多，因此可以利用非线性搜索算法在原始数据残差平方和最小的目标下求解每一个p■值，至于背景值权值p■以求解下列最优化问题给出■■■（k）-Q■（k）■，为了能同时求得最佳背景值权值p■，本文利用具有多变量寻优能力的模式搜索法求取，模式搜索法基本思想是先“探测性移动”寻找最佳点信息，然后用“模式性移动”沿着找到的最佳点信息前进，2种移动交替进行直到步长δ小于事先给定的某个小正数ε为止。
3 实例分析
为了比较基于模式搜索法改进的极限承载力灰色预测模型和原始灰色预测模型的精度，本文以武汉某工程试桩的静荷载数据建立两种模型进行比较。模式搜索法的改进时有效的。同时实例应用结果表明改进后的模型提高了模拟预测精度，更加适合于工程应用。
参考文献：
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