步步高加练半小时第77练推理证明

　 训练目标 (1)会应用合情推理、演绎推理进行判断推理；(2)会用综合法、分析法、反证法进行推理证明. 解题策略 (1)应用合情推理时，找准变化规律及问题实质，借助定义、性质、公式进行类比归纳；(2)用分析法证明时，要注意书写格式，执果索因逐步递推；(3)用反证法证明时，对所要证明的结论的否定性假设要具有全面性，防止片面性.

　一、选择题 1．有一段“三段论”推理是这样的：

　对于可导函数 f(x)，如果 f′(x 0 )＝0，那么 x＝x 0 是函数 f(x)的极值点，因为函数 f(x)＝x 3 在 x＝0 处的导数值 f′(0)＝0，所以 x＝0 是函数 f(x)＝x 3 的极值点．以上推理中(

　) A．小前提错误

　 B．大前提错误 C．推理形式错误

　 D．结论正确 2．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程 ax 2 ＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么 a，b，c中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是(

　) A．假设 a，b，c 都是偶数 B．假设 a，b，c 都不是偶数 C．假设 a，b，c 至多有一个是偶数 D．假设 a，b，c 至多有两个是偶数 3.如图，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是(

　)

　A．12

　 B．48 C．60

　 D．144 4．已知数列{a n }为等差数列，若 a m ＝a，a n ＝b(n－m≥1，m，n∈N * )，则 a m ＋ n ＝ nb－man－m.类比上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n∈N * )，若 b m ＝c，b n ＝d(n－m≥2，m，n∈N * )，则可以得到 b m ＋ n 等于(

　) A.n － md mc n

　 B.m － nd mc n

　 C.n － md nc m

　 D.m － nd nc m

　5．设 f(x)是定义在(－∞，＋∞)上单调递减的奇函数，且 x 1 ＋x 2 >0，x 2 ＋x 3 >0，x 3 ＋x 1 >0，则f(x 1 )＋f(x 2 )＋f(x 3 )与 0 的大小关系是(

　) A．f(x 1 )＋f(x 2 )＋f(x 3 )>0 B．f(x 1 )＋f(x 2 )＋f(x 3 )<0 C．f(x 1 )＋f(x 2 )＋f(x 3 )≥0 D．不能确定 6．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有 n(n>1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为 a n ，则9a 2 a 3 ＋9a 3 a 4 ＋9a 4 a 5 ＋…＋9a 2 017 a 2 018 等于(

　)

　A. 2 0142 015

　 B.2 0152 014

　 C.2 0162 017

　 D.2 0162 015

　7．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c 为直角三角形的三边，其中 c 为斜边，则 a 2 ＋b 2 ＝c 2 ，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体 O－ABC 中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S 为顶点 O 所对面的面积，S 1 ，S 2 ，S 3 分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC 的面积，则下列选项中对于 S，S 1 ，S 2 ，S 3 满足的关系描述正确的为(

　) A．S 2 ＝S 2 1 ＋S 2 2 ＋S 2 3

　B．S 2 ＝1S 2 1 ＋1S 2 2 ＋1S 2 3

　C．S＝S 1 ＋S 2 ＋S 3

　D．S＝1S 1 ＋1S 2 ＋1S 3

　8.如图，椭圆的中心在坐标原点，F 为其左焦点，当FB→ ⊥AB → 时，椭圆的离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可得“黄金双曲线”的离心率为(

　)

　A.5＋12

　B. 3＋ 52

　C. 5－1

　D. 5＋1 二、填空题 9．如图，在圆内画 1 条线段，将圆分成 2 部分；画 2 条相交线段，将圆分割成 4 部分；画 3条线段，将圆最多分割成 7 部分；画 4 条线段，将圆最多分割成 11 部分．则

　(1)在圆内画 5 条线段，将圆最多分割成________部分； (2)在圆内画 n 条线段，将圆最多分割成________部分． 10．若 f(n)为 n 2 ＋1(n∈N * )的各位数字之和，如：14 2 ＋1＝197,1＋9＋7＝17，则 f(14)＝17；记 f 1 (n)＝f(n)，f 2 (n)＝f(f 1 (n))，f 3 (n)＝f(f 2 (n))，…，f k ＋ 1 (n)＝f(f k (n))，k∈N * ，则 f 2 018 (9)＝________. 11．已知 f(x)＝xe x ，f 1 (x)＝f′(x)，f 2 (x)＝[f 1 (x)]′，…，f n ＋ 1 (x)＝[f n (x)]′，n∈N* ，经计算：f 1 (x)＝ 1－xe x，f 2 (x)＝ x－2e x，f 3 (x)＝ 3－xe x，…，照此规律猜想 f n (x)＝________. 12．椭圆中有如下结论：椭圆 x2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)上斜率为 1 的弦的中点在直线xa 2 ＋yb 2 ＝0 上，类比上述结论：双曲线 x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)上斜率为 1 的弦的中点在直线________________上．

　答案精析 1．B [大前提：如果 f′(x 0 )＝0，那么 x＝x 0 是函数 f(x)的极值点，错误．] 2．B [至少有一个的否定是一个也没有，即 a，b，c 都不是偶数．] 3．D [观察可知，图中每个数是它的“肩上”两个数的乘积，故 a＝12×12＝144.] 4．C [观察{a n }的性质：a m ＋ n ＝ nb－man－m，则联想 nb－ma 对应等比数列{b n }中的 dnc m ，而{a n }中除以(n－m)对应等比数列中开(n－m)次方，故 b m ＋ n ＝n － md nc m .] 5．B [由 x 1 >－x 2 ，x 2 >－x 3 ，x 3 >－x 1 ，结合 f(x)为减函数，得 f(x 1 )<f(－x 2 )，f(x 2 )<f(－x 3 )，f(x 3 )<f(－x 1 )， 又∵f(x)是奇函数，∴f(x 1 )＋f(x 2 )＋f(x 3 )<f(－x 2 )＋f(－x 3 )＋f(－x 1 )＝－[f(x 2 )＋f(x 3 )＋f(x 1 )]，得f(x 1 )＋f(x 2 )＋f(x 3 )<0.故选 B.] 6．C [每条边有 n 个点，所以 3 条边有 3n 个点，三角形的 3 个顶点重复计算了一次，所以减 3 个顶点，即 a n ＝3n－3，那么9a n a n ＋ 1 ＝93n－3×3n ＝1nn－1 ＝1n－1 －1n ， 即9a 2 a 3 ＋9a 3 a 4 ＋9a 4 a 5 ＋…＋9a 2 017 a 2 018

　＝ 11 －12＋ 12 －13＋ 13 －14＋…＋ 12 016 －12 017＝1－12 017 ＝2 0162 017 ，故选 C.] 7．A [如图，作 OD⊥BC 于点 D，连接 AD，由立体几何知识知，

　AD⊥BC，从而 S 2 ＝ 12 BC·AD2 ＝ 14 BC2 ·AD 2 ＝ 14 BC2 ·(OA 2 ＋OD 2 ) ＝ 14 (OB2 ＋OC 2 )·OA 2 ＋ 14 BC2 ·OD 2

　＝ 12 OB·OA2 ＋  12 OC·OA2 ＋  12 BC·OD2

　＝S 2 1 ＋S 2 2 ＋S 2 3 .] 8．A [设双曲线方程为 x2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)，F(－c,0)， B(0，b)，A(a,0)，

　则FB→ ＝(c，b)，AB → ＝(－a，b)． ∵FB→ ⊥AB → ，∴FB → ·AB → ＝－ac＋b 2 ＝0. 又∵b 2 ＝c 2 －a 2 ，∴c 2 －ac－a 2 ＝0，即 e 2 －e－1＝0. 解得 e＝ 1± 52.又 e>1，∴e＝ 1＋ 52.故选 A.] 9．(1)16 (2)1＋ nn＋12 解析 (1)设在圆内画 n 条线段将圆最多可分成 a n 部分，则 a 1 ＝2，a 2 ＝4，a 3 ＝7，a 4 ＝11，所以 a 5 ＝a 4 ＋5＝11＋5＝16，即在圆内画 5 条线段，将圆最多分割成 16 部分． (2)因为 a n －a n － 1 ＝n，a n － 1 －a n － 2 ＝n－1，…，a 3 －a 2 ＝3，a 2 －a 1 ＝2，所以将上述式子累加得a n －a 1 ＝2＋3＋…＋n，则 a n ＝2＋2＋3＋…＋n＝1＋ nn＋12，n≥2，显然当 n＝1 时上式也成立，故在圆内画 n 条线段将圆最多可分割成 1＋ nn＋12部分． 10．11 解析 根据 9 2 ＋1＝82，f 1 (9)＝10； 10 2 ＋1＝101，f 2 (9)＝f(f 1 (9))＝f(10)＝2； 2 2 ＋1＝5，f 3 (9)＝f(f 2 (9))＝f(2)＝5； 5 2 ＋1＝26，f 4 (9)＝f(f 3 (9))＝f(5)＝8； 8 2 ＋1＝65，f 5 (9)＝f(f 4 (9))＝f(8)＝11； 11 2 ＋1＝122，f 6 (9)＝f(f 5 (9))＝f(11)＝5， 所以{f n (9)}从第 3 项开始是以 3 为周期的循环数列， 因为 2 018＝2＋672×3，所以 f 2 018 (9)＝f 5 (9)＝11. 11. －1n x－ne x 解析 f 1 (x)＝ 1－xe x＝ －11 x－1e x， f 2 (x)＝ x－2e x＝ －12 x－2e x， f 3 (x)＝ 3－xe x＝ －13 x－3e x，…， 因此猜想 f n (x)＝ －1n x－ne x. 12.xa 2 －yb 2 ＝0 解析 类比椭圆中的结论可知：双曲线 x2a 2 －y 2b 2 ＝1 上斜率为 1 的弦的中点在直线xa 2 －yb 2 ＝0 上．

　不妨设弦的两个端点为(x 1 ，y 1 )，(x 2 ，y 2 )，则 y2 －y 1x 2 －x 1 ＝1， 弦中点设为(x 0 ，y 0 )，则 x 0 ＝ x1 ＋x 22，y 0 ＝ y1 ＋y 22， 将上述两端点代入双曲线方程得 x 2 1a 2 －y 2 1b 2 ＝1，x 2 2a 2 －y 2 2b 2 ＝1， 两式相减得 x22 －x 2 1a 2－ y22 －y 2 1b 2＝0， x 2 －x 1 x 2 ＋x 1 a 2－ y2 －y 1 y 2 ＋y 1 b 2＝0， 化简得 x2 ＋x 1a 2－ y2 ＋y 1b 2＝0， 2x 0a 2－ 2y 0b 2＝0， 所以 x 0a 2 －y 0b 2 ＝0，于是(x 0 ，y 0 )在直线xa 2 －yb 2 ＝0 上．

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