§ §13.1 合情推理与演绎推理
教学目的：掌握归纳推理、类比推理、演绎推理。
教学重点：归纳推理、类比推理、演绎推理的应用 教学难点：运用归纳、类比方法进行推理证明 教学过程：
一、知识梳理 1．合情推理：
归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做（简称归纳）。归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理； 类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做类比推理（简称类比）。
类比推理的一般步骤：
（1）找出两类事物之间的相似性或一致性； （2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）； （3）一般地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的； （4）在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。
2．演绎推理：
推理的每一个步骤都是根据一般性命题（如“全等三角形”）推出特殊性命题的过程，这类根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理，叫做演绎推理。演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真。
二、典型例题 例 例 1 ：观察圆周上 n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3 个点可以连 3 条弦，4 个点可以连 6 条弦，5 个点可以连 10 条弦，你由此可以归纳出什么规律？ 解 ：设 f n 为 n 个点可连的弦的条数，则
本题为归纳推理. 例 例 2 ：观察下列的图形中小正方形的个数，则第 6 个图中有_______个小正方形，第 n 个图中有
________________个小正方形.
解 ：28 , 2) 2 )( 1 ( n n
例 例 3 ：(2008 江苏卷)将全体正整数排成三角形数阵：
根据以上的排列规律，第 3 n n 行从左向右第 3 个数是
． 解：
：本题给出了正整数列的前 5 行的排法,要求从中能够发现规律,得到位于任意指定行和指定列的数,是从特殊的具体的 5 行得到所有行的规律. 前 1 n 行的规律是第 1 行有 1 个数,第 2 行有 2 个数,第 3 行有 3 个数等等, 由此前 1 n 行有正整数 21 2 12n nn 个, 所以,第 3 n n 行从左向右第 3 个数是第2 2632 2n n n n 个. 本题为归纳推理. 例 例 4 ：已知 n 次多项式10 1 1( )n nn n nP x a x a x a x a ,
如果在一种算法中，计算0kx （k＝2，3，4，…，n）的值需要 k－1 次乘法，计算3 0( ) P x 的值共需要 9 次运算（6 次乘法，3 次加法），那么计算0( )nP x 的值共需要
次运算． 下面给出一种减少运算次数的算法：
0 0 1 1( ) , ( ) ( )k k kP x a P x xP x a （k＝0， 1，2，…，n－1）．利用该算法，计算3 0( ) P x 的值共需要 6 次运算，计算0( )nP x 的值共需要
次运算． 解 解：第一种算法, 计算0( )nP x 的值共需要 n n n 1 ) 1 ( 次运算,即 23 n n次运算; 第二种算法, 计算0( )nP x 的值可以采用递推的方法.设计算0( )nP x 的值的次数为nb ,则 21 n nb b ,由 nb 是等差数列及 21 b 可得 n b n 2
本题先给出了一个求特殊的多项式(三次多项式)的值的算法的运算次数的示范,要求从特殊归纳出求一般的多项式的值的运算的次数,这是归纳推理. 例 例 5：
：把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论是否成立：
(1) 如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必于另一条相交。
(2) 如果两条直线同时垂直与第三条直线，则这两条直线平行。
解：
：(1) 一个平面如和两个平行平面中的一个相交，则必然和另一个也相交，此结论成立； (2) 若两个平面同时垂直第三个平面，则这两个平面也相互平行，此结论不成立. 本题为类比推理. 例 例 6：半径为 r 的圆的面积 2S r r ，周长 2 C r r ，若将 r 看作 0, 上的1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ………………
变量，则 22 r r
① ①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
对于半径为 R 的球，若将 R 看作 0, 上的变量，请你写出类似于①的式子：
____________________________________
② ②式可用语言叙述为________________________________________. 解 ：3 2443R R . .以 R 为变量的球的体积函数的导数等于球的表面积函数. 本题用圆的面积与周长之间的导数关系,类比球的体积与面积的导数关系,并且是式子运算与语言叙述同时类比,也是平面图形与空间图形的类比. 例 例 7：
已知椭圆2 22 2: 1x yCa b 具有性质：若 , M N 是椭圆 C 上关于原点对称的两点,点 P 是椭圆上任意一点,当直线 , PM PN 的斜率都存在,并记为 ,PM PNk k 时,那么, PMk 与PNk 之积是与点 P 的位置无关的定值.
试对双曲线2 22 21x ya b 写出具有类似特征的性质,并加以证明. 解：双曲线的类似性质：若 , M N 是双曲线2 22 2: 1x yEa b 上关于原点对称的两点,点 P 是双曲线上任意一点,当直线 , PM PN 的斜率都存在,并记为 ,PM PNk k 时,那么, PMk 与PNk 之积是与点 P 的位置无关的定值. 证明如下：设 0 0, P x y 是双曲线 E 上任意一点，又设 , M m n 是双曲线 E 上一点，它的关于原点对称的点 N 的坐标为 , N m n 。
0 00 0, ,PM PNy n y nk kx m x m 由点 , P M 在双曲线上，则
2 20 02 22 22 21,1.x ya bm na b 两式相减得
2 2 2 2 2 20 00, b x m a y n
2 2 202 2 20,y n bx m a 20 020 0y n y n bx m x m a 22PM PNbk ka
即PMk 与PNk 之积为定值22ba.此值与 0 0, P x y 的位置无关.
由以上推理可类似地得出,在椭圆 C 中,有22PM PNbk ka . 这是一道类比推理问题.由于椭圆与双曲线都是有心二次曲线,并且2 22 2: 1x yCa b 与2 22 2: 1x yEa b 具有相同的对称性,因此,可以从椭圆的这一性质类比出双曲线的类似性质. 例 例 8：
：在等差数列 } {na 中，nS 为其前 n 项之和。则有 （1） 11;2nn nS na d
（2）数列nSn 是等差数列. 请由此推断，在等比数列 } {nb 中，有哪些相应的性质？并予以证明. 解：在等比数列 } {nb 中，设公比为 q ,nT 为其前 n 项之积.则有
(1) 121;n nnnT b q
(2) 数列 nnT 是等比数列. 证明如下: (1) 1 2 n nT bb b
2 11 1 1 11 2 11121.nn nn nnb bq bq bqb qb q (2) 由(1)有, 121,nnnT b q
则12112121,nnnnnnT b qqTb q 所以, 数列 nnT 是等比数列. 本题是由等差数列的性质类比等比数列相应的性质. 由等差数列和等比数列的定义及有关结论可以进行这样的类比; 等差类比为等比, 和类比积,例如nS 类比为nT , 乘法类比乘方,例如,1na 类比为1nb , 12n nd类比为12,nq 算术平均类比为几何平均,例如, nSn类比为nnT . 例 例 9：
：请先阅读：在等式2cos2 2cos 1 x x （ xR ）的两边求导，得：
2(cos2 ) (2cos 1) ? x x ， 由求导法则，得 ( sin2 ) 2 4cos ( sin ) x x x ，
化简得等式：
sin2 2cos sin x x x ． （ 1 ）
利 用 上 题 的 想 法 （ 或 其 他 方 法 ）， 结 合 等 式 （ 1 ＋ x ）n＝0 1 2 2C C C C nnn n n nx x x （ xR ， 正 整 数 2 n ）
， 证 明 ： -1121 1 Cnnk knkn x k x ． （2）对于正整数 3 n ，求证：
（i）1( 1) Cnk knkk＝0； （ii）21( 1) Cnk knkk＝0； （iii）111 2 1C1 1nnknkk n ． 解：
：本题需要从特殊到一般的归纳. （1）将等式（1＋x）
n ＝0 1 2 2C C C C nnn n n nx x x 两边求导得：
-11 2 3 2 11 2 3nn nn n n nn x C C x C x nC x ＝n＋12Cnk knkk x． 所以 -1121 1 Cnnk knkn x k x ． （2）
（i）令 x＝－1，则有1( 1) Cnk knkk＝11( 1) C ( 1)nk knkk ＝（－1）·n （1－1）n1＝0． （ii）对等式 n （1＋x）n1＝1 2 3 2 1C 2C 3C C nnn n n nx x n x ＝11Cnk knkk x 再一次求导得 n（n－1）（1＋x）n2＝22( 1)Cnk knkk k x． 所以21( 1) Cnk knkk＝1 1( 1) ( 1)C ( 1) Cn nk k k kn nk kk k k ＝2 11 1( 1)C ( 1) C ( 1)n nk k k kn nk kk k k ＝n（n－1）（1－1）n2－n （1－1）n1＝0．
（iii）因为1 1 ! !C1 1 ! ( )! ( 1)! ( )!knn nk k k n k k n k ＝111 ( 1)! 1 ( 1)! 1C1 ( 1)! ( )! 1 ( 1)![( 1) ( 1))! 1knn nn k n k n k n k n 所以11 1 1 11 1 1 10 01 1 1 2 1C C (C C C )1 1 1 1nn nk k nn n n n nk kk n n n 本题为类比推理. 例 例 10：
：如图是某汽车维修公司的维修点分布图，公司在年初分配给Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个维修点的某种配件各５０件，在使用前发现需将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个维修点的这批配件分别调整为４０、４５、５４、６１件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么完成上述调整，最少的调动件次（ n 个配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为 n ）为
（Ａ）１５ （Ｂ）１６
（Ｃ）１７
（Ｄ）１８ 解：
：B. 因为调整只能在相邻维修点间进行，故应从 A 调整 10 件到 D（调动了 10件次），从 B 调到 5 件到 C（调动了 5 件次），此时，维修点 A 有配件 40 件，维修点 B 有配件 45 件，维修点 C 有配件 55 件，所以，再从 C 调整 1 件到 D，即可完成配件调整工作，所以共调整 10＋5＋1＝16 件次． 可以证明， 16 是调整调动的最少件次。
由于，维修点 A 要由 50 调整为 40 ，维修点 B 要由 50 调整为 45 ，即维修点A 和 B 共要调出 15 件，配件调整油又必须在相邻维修点进行，因而，在 15 次调动中，维修点 D 无法得到 61 件，所以，调整调动的最少件次大于 15 ，而上述的调整恰好为 16 ，所以 16 是调整调动的最少件次。
§ §13.2
直接证明与间接证明
教学目的：掌握直接证明与间接证明两类基本证明方法 教学重点：反证法、分析法、综合法 教学难点：两类证明方法的应用 教学过程：
一、知识梳理 1.反证法：要证明某一结论 A 是正确的，但不直接证明，而是先去证明 A 的反面（非 A）是错误的，从而断定 A 是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。
反证法的步骤：1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论。
2.分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。
用分析法证明不等式的逻辑关系是：
A
D
C
B
分析法的思维特点是：执果索因； 分析法的书写格式：
要证明命题 B 为真，只需要证明命题为真， 从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有…… 这只需要证明命题 A 为真，而已知 A 为真，故命题 B 必为真。
3.综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法， 用综合法证明不等式的逻辑关系是：
综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。
二、典型例题 例 例 1：
：已知数列 na 的通项公式是 5 4na n ， 求证：对 , m n N ,有 1 5 n m mna a a . 解：
：要证
1 5 n m mna a a
只要证
n m n m mna a a a a 2 1 5 ， 因为
4 5 mn a mn ， 16 ) ( 20 25 ) 4 5 )( 4 5 ( n m mn n m a an m， 故只要证
) 4 5 ( 5 mnn m aa n m mn 2 16 ) ( 20 25 1 ， 即只要证
n m aa n m 2 37 20 20 ， 因为
2 5 5 85 5 8 (15 15 29)20 20 37.m n m na a a a m nm n m nm n 所以命题得证. 例 例 2 2 ：已知 0 a b ，求证： 2 28 2 8a b a b a baba b . 证 ：要证 2 28 2 8a b a b a baba b , 只需证 22 28 2 8a ba b a ba b . 因为 0 a b ,只需证2 2 2 2 2a b a b a ba b , 即需证 12 2a b a ba b , 要证 12a ba ,只需证 2 a b a ,即 a b ,亦即 a b ,显然成立; 要证 12a bb ,只需证 2 a b b ,即 a b ,亦即 a b ,显然成立;
且以上各步骤都可逆,所以 2 28 2 8a b a b a baba b 成立. 例 例 3：
：用反证法证明命题：“ , a bN ， ab 可被 5 整除，那么， , a b 中至少有一个能被 5 整除”时，假设的内容是（
）.
A. ab 都能被 5 整除
B. ab 都不能被 5 整除
C. ab 不都能被 5 整除
D. a 不能被 5 整除 解 ：
B.
例 例 4：
：给定实数 , 0 a a ,且 1 a .设函数11xyax( xR ,且1xa ). 求证：经过这个图象上任意两个不同点的直线不平行于 x 轴. 证 ：(直接证法)设 1 1 2 2, , , A x y B x y 1 2x x 为图象上任意两个不同点,则 2 12 12 12 1 2 11 1 11 1 1 1x x a x xy yax ax ax ax , 因为1 2 ,1 x x a ,所以,2 10 y y ,1 2y y ,所以, AB
不平行于 x 轴. (反证法) 假设图象上存在两点 1 1 2 2, , , A x y B x y 1 2x x ,使得 AB 平行于x 轴. 则 0ABk ,即 2 12 1 2 12 1 2 1 2 11 11 1 101 1ABx xy y ax ax akx x x x ax ax , 于是, 1 a ,与已知 1 a 矛盾,所以, 这个图象上任意两个不同点的直线不平行于 x 轴. 例 例 5：
：已知 2f x x px q .求证：
1 , 2 , 3 f f f 中,至少有一...