摘 要： 本文介绍一种利用微分方程来求幂级数的和函数的方法，具体思路是先对所给的幂级数逐项求导，再通过观察构造出一个含有和函数的微分方程，解出这个微分方程，从而求得幂级数的和函数.
关键词： 微分方程 幂级数 和函数 逐项求导
对于比较简单的幂级数，如、（n+1）x等，可以通过先逐项求导或逐项积分把它转化为等比级数，再借助于等比级数的和的公式来求得其和函数.可是当级数比较复杂时，利用这种方法就很难直接求得幂级数的和函数了.这里介绍一种利用微分方程来求幂级数的和函数的方法，具体思路是先逐项求导，再通过观察构造出一个含有和函数的微分方程，解这个微分方程来求得幂级数的和函数.
下面来看具体的问题.
例1：求幂级数，x∈（-∞，+∞）的和函数.
解：设s（x）=
逐项求导得：
s′（x）=x=4x
=4[xx+4x]
=4xs（x）+16xe
整理得s′（x）-4xs（x）=16xe
这是一个关于s（x）的一阶线性非齐次微分方程，利用常数变易法可求得其通解为：
s（x）=（4x+C）e
注意到s（0）=1，得C=1，
于是s（x）=（4x+1）e=4xe+e.
例2：求幂级数（-1）（|x|≤1）的和函数.
解：设s（x）=（-1）（|x|≤1），
则xs（x）=（-1）
于是[xs（x）]′=s（x）+xs′（x）
=（-1）
=2（-1）+2（-1）
=2（arctanx-x）+2s（x）
整理得s′（x）-s（x）=2（-1）
这是一个关于s（x）的一阶线性非齐次微分方程，利用常数变易法可求得其通解为：
s（x）=-2arctanx-xln（1+x）+C
注意到s（0）=0，得C=0，
所以，所求幂级数的和函数s（x）=-2arctanx-xln（1+x）.
例3：求幂级数++...++...，x∈（-∞，+∞）的和函数.
解1：设s（x）=++...++...，x∈（-∞，+∞）
显然，s（x）=x[++...++...]
变形得=++...++...
再对这个新的级数逐项求导得：
[]′=1+++...++...
由此有：[]′+=e，这样就得到了一个关于函数的一阶线性微分方程.
用常数变易法可求得=（e+C）e，
即s（x）=x（e+C）e=x（e+Ce）.
注意到s（0）=0，从而求出C=-.
所以，所求幂级数的和函数s（x）=x（e-e）.
解2：设s（x）=++...++...，
显然，s（x）=x[++...++...]
变形得=++...++...
再对这个新的级数逐项求导得：
[]′=1+++...++...，再逐项求导得：
[]″=x+++...++...
从而有[]″+[]′=e，这是一个关于函数的二阶常系数线性非齐次微分方程.
很容易求得它对应的齐次微分方程的通解为=C+Ce；并且可以看出，e是这个二阶常系数线性非齐次微分方程的一个特解.
所以这个关于的二阶常系数线性非齐次微分方程的通解是=C+Ce+e，即s（x）=xC+（Ce+e）.
注意到s′（0）=0、s″（0）=2，就可求得C=0，C=-.
从而所求幂级数的和函数s（x）=x（e-e）.
这里主要是充分地利用了级数的逐项求导，通过观察从而得到一个含有和函数的微分方程，希望读者能从中得到一些启发.总之，只要善于观察，求幂级数的和函数就不是那么难解决的问题了.
参考文献：
[1]姜淑莲，朱双荣.应用数学[M].武汉：华中科技大学出版社，2010.
[2]韩新社.高等数学[M].中国科学技术大学出版社，2006.
