提问： 我知道，若点P（a，b）在圆C：x2+y2=r2上，则直线l：ax+by=r2表示过圆C上点P的切线.若点P不在圆C上，那么直线l：ax+by=r2与点P（a，b）又有什么关系呢？
回答： 我们先来想一想，为什么直线l：ax+by=r2表示过圆C：x2+y2=r2上的点P（a，b）的切线？
如图1所示，P（a，b）为圆C上一点.设过点P的圆C的切线的斜率为k，则k=-=-，所以切线l的方程为y=-（x-a）+b，整理得ax+by=a2+b2.又P（a，b）在圆C上，所以a2+b2=r2，由此可得ax+by=r2，即l：ax+by=r2为过圆C上一点P（a，b）的切线.
现在再来看看点P不在圆C上的情况.
当点P在圆C外时，如图2所示，过点P作圆的两条切线PA和PB，其中A（x1，y1），B（x2，y2）为切点.由上文可知切线PA与PB的方程分别为x1x+y1y=r2，x2 x+y2 y=r2.
因为点P（a，b）为切线PA和PB的交点，所以点P同时满足PA和PB的方程，代入P（a，b）可得x1a+y1b=r2，x2 a+y2 b=r2.
这说明点A（x1，y1）和B（x2，y2）均满足方程ax+by=r2，所以直线l：ax+by=r2过点A，B，即过圆外一点P作圆C的两条切线切圆于A，B，则l：ax+by=r2为切点弦AB的方程.
当点P在圆C内时，如图3所示，过点P作任意直线交圆C于M（x1，y1），N（x2，y2） （MN不能为直径），以M，N为切点，作圆C的两条切线交于点Q（x0，y0）.因为Q为切线MQ和NQ的交点，线段MN为圆C的切点弦，所以由上文可知直线MN的方程为x0x+y0y=r2. 因为P（a，b）在直线MN上，将P（a，b）代入MN的方程可得x0 a+y0 b=r2，所以点Q（x0，y0）在直线l：ax+by=r2上.
由此可知，当点P（a，b）在圆C内时，过点P作任意直线交圆C于M，N （MN不能为直径），以M，N为切点作圆C的两条切线交于点Q，则点Q必在直线l：ax+by=r2上.
以上我们讨论的是圆C的圆心为原点的特殊情况.若圆C的方程为标准方程（x-m）2+（y-n）2=r2，情况又如何呢？
同理可得，若点P在圆C上，则l：（a-m）（x-m）+（b-n）（y-n）=r2为过圆C上一点P（a，b）的切线.
若点P在圆C外，过点P作圆C的两条切线切圆于A，B，则l：（a-m）（x-m）+（b-n）（y-n）=r2为切点弦AB的方程.
若点P（a，b）在圆C内，过点P作任意直线交圆C于M，N （MN不能为直径），以M，N为切点作圆C的两条切线交于点Q，则点Q必在直线l：（a-m）（x-m）+（b-n）（y-n）=r2上.
答疑人： 嘉兴市第一中学 吕峰波 释疑邮箱： tzcdm@qq.com
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