第 第 2 2 章 推理与证明
(时间：120 分钟，满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在△ABC 中，sin Asin C>cos Acos C，则△ABC 一定是(
) A．锐角三角形
B．直角三角形 C．钝角三角形
D．不确定 解析：选 D.由 sin Asin C>cos Acos C，可得 cos(A＋C)<0，即 cos B>0，所以 B 为锐角，但并不能判断 A，C，故选 D. 2．如果两个数的和为正数，则这两个数(
) A．一个是正数，一个是负数 B．两个都是正数 C．至少有一个是正数 D．两个都是负数 解析：选 C.两个数的和为正数，则有三种情况：(1)一个是正数，一个是负数且正数的绝对值大于负数的绝对值；(2)一个是正数，一个是零；(3)两个数都是正数．可综合为“至少有一个是正数”． 3．已知 a，b∈R，若 a≠b，且 a＋b＝2，则(
) A．1<ab< a2 ＋b 22
B．ab<1< a2 ＋b 22 C．ab< a2 ＋b 22<1
D. a2 ＋b 22<ab<1 解析：选 B.∵b＝2－a，∴ab＝a(2－a)＝－(a 2 －2a) ＝－(a－1) 2 ＋1<1， a 2 ＋b 22＝ a2 ＋2－a 22＝ 2a2 －4a＋42＝a 2 －2a＋2＝(a－1) 2 ＋1>1，故选 B. 4．在面积为 S(S 为定值)的扇形中，当扇形的中心角为 θ、半径为 r 时，扇形周长最小，这时 θ，r 的值分别是(
) A．1， S
B．2， 4 S C．2， 3 S
D．2， S 解析：选 D.由 S＝ 12 θr2 可得 θ＝ 2Sr 2 ，又因为扇形周长 P＝2r＋θr＝2(r＋Sr )≥4 S，所以当P 最小时，r＝ Sr ，解得 r＝ S，此时 θ＝2. 5．观察式子：1＋12 2 <32 ，1＋12 2 ＋13 2 <53 ，1＋12 2 ＋13 2 ＋14 2 <74 ，…，则可归纳出一般式子为(
)
A．1＋12 2 ＋13 2 ＋…＋1n 2 <12n－1 (n≥2) B．1＋12 2 ＋13 2 ＋…＋1n 2 <2n＋1n(n≥2) C．1＋12 2 ＋13 2 ＋…＋1n 2 <2n－1n(n≥2) D．1＋12 2 ＋13 2 ＋…＋1n 2 <2n2n＋1 (n≥2) 解析：选 C.由合情推理可归纳出 1＋12 2 ＋13 2 ＋…＋1n 2 <2n－1n(n≥2)．故选 C. 6．有以下结论：
(1)已知 p 3 ＋q 3 ＝2，求证 p＋q≤2，用反证法证明时，可假设 p＋q≥2； (2)已知 a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程 x 2 ＋ax＋b＝0 的两根的绝对值都小于 1，用反证法证明时可假设方程有一根 x 1 的绝对值大于或等于 1，即假设|x 1 |≥1.下列说法中正确的是(
) A．(1)与(2)的假设都错误 B．(1)与(2)的假设都正确 C．(1)的假设正确；(2)的假设错误 D．(1)的假设错误；(2)的假设正确 解析：选 D.用反证法证题时一定要将对立面找全．在(1)中应假设 p＋q>2.故(1)的假设是错误的，而(2)的假设是正确的，故选 D. 7．若 a，b，c∈R，且 ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是(
) A．a 2 ＋b 2 ＋c 2 ≥2
B．(a＋b＋c) 2 ≥3 C. 1a ＋1b ＋1c ≥2 3
D．a＋b＋c≤ 3 解析：选 B.∵ab＋bc＋ca＝1， ∴a 2 ＋b 2 ＋c 2 ≥ab＋bc＋ca＝1， ∴(a＋b＋c) 2 ＝a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋2ab＋2bc＋2ca≥1＋2(a＋b＋c)＝3. 8．对于 a，b∈(0，＋∞)，a＋b≥2 ab，(大前提) x＋ 1x ≥2x·1x ，(小前提) 所以 x＋ 1x ≥2，(结论) 以上推理过程中的错误为(
) A．大前提
B．小前提 C．结论
D．无错误 解析：选 B.大前提中 a，b∈(0，＋∞)，而小前提中 x∈R，故小前提出错，应改为 x∈(0，＋∞)． 9.
如图所示的是某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从 A 到 H 不同的旅游路线的条数是(
) A．15
B．16
C．17
D．18 解析：选 C.
这是图论中的一个问题，如果一条一条的去数，由于道路错综复杂，哪些已算过，哪些没有算过就搞不清了，所以我们换一个思路，用分析法来试试．要到 H 点，需从 F，E，G走过来，那 F，E，G 各点又可由哪些点走过来呢，…，这样一步一步地倒推，最后归结到A，然后再反推过去得到如下的计算法：A 至 B，C，D 的路数记在 B，C，D 圆圈内，B，C，D 分别到 F，E，G 的路数亦记在 F，E，G 圆圈内，最后 F，E，G 各个路数之和，即得至H 的总路数，如图所示． 10．若 a＞0，b＞0，则 p＝(ab) a＋b2与 q＝a b b a 的大小关系是(
) A．p≥q
B．p≤q C．p＞q
D．p＜q 解析：选 A. pq ＝aa－b2b b－a2＝ aba－b2， 若 a＞b＞0，则 ab ＞1，a－b＞0，∴pq ＞1； 若 0＜a＜b，则 0＜ ab ＜1，a－b＜0，∴pq ＞1； 若 a＝b，则 pq ＝1，∴p≥q. 11．已知 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且 f(1)＝2，则 f(1)＋f(2)＋…＋f(n)不能等于(
) A．f(1)＋2f(1)＋…＋nf(1) B．f nn＋12 C．n(n＋1) D．n(n＋1)f(1) 解析：选 D.由已知 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)及 f(1)＝2，得 f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)＝4，f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝6，…，依此类推，f(n)＝f(n－1＋1)＝f(n－1)＋f(1)＝…＝nf(1)＝2n，所以 f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝2＋4＋6＋…＋2n＝ n2＋2n2＝n(n＋1)．故 C 正确，显然 A，B 也正确，只有 D 不可能成立． 12．从一楼到二楼的楼梯共有 n 级台阶，每步只能跨上 1 级或 2 级台阶，走完这 n 级台阶共有 f(n)种走法，则下面的猜想正确的是(
) A．f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n≥3) B．f(n)＝2f(n－1)(n≥2) C．f(n)＝2f(n－1)－1(n≥2) D．f(n)＝f(n－1)f(n－2)(n≥3) 解析：选 A.当 n＝1 时，f(1)＝1；当 n＝2 时，f(2)＝2；当 n＝3 时，f(3)＝3；当 n＝4时，f(4)＝5，由上面可推知选 A(猜想)． 二、填空题(本大题共 4 小题．把正确答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，D 为 BC 的中点，则AD→＝ 12 (AB→ ＋AC → )，将命题类比到四面体中去，得
到一个类比命题：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 解析：△ABC 中 BC 边上的中点类比为四面体中一个面的重心． 答案：在四面体 A BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG→＝ 13 (AB→ ＋AC → ＋AD →) 14．写出用三段论证明 f(x)＝x 3 ＋sinx(x∈R)为奇函数的步骤是__________． 解析：按照三段论的要求写出即可． 答案：满足 f(－x)＝－f(x)的函数是奇函数，(大前提) f(－x)＝(－x) 3 ＋sin(－x)＝－x 3 －sinx＝－(x 3 ＋sinx)＝－f(x)，(小前提) 所以 f(x)＝x 3 ＋sinx 是奇函数．(结论) 15．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 y＝f(x)的图象关于直线 x＝ 12 对称，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝__________. 解析：因为 f(x)在 R 上是奇函数，所以 f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)，又因为 f(x)的图象关于直线 x＝ 12 对称，所以 f(x)＝f(1－x)，所以 f(1－x)＝f(x)＝－f(－x)，设 t＝－x，则 f(1＋t)＝－f(t)．所以 f(2＋t)＝f[1＋(1＋t)]＝－f(1＋t)＝－[－f(t)]＝f(t)，即 f(2＋t)＝f(t)，所以 f(x)的周期为 2.所以 f(1)＝f(3)＝f(5)，f(2)＝f(4)．又因为 f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，f(2)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)＝0，所以 f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0. 答案：0 16．将正△ABC 分割成 n 2 (n≥2，n∈N)个全等的小正三角形(图①，图②分别给出了 n＝2,3 的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于 3 时)都分别依次成等差数列．若顶点 A，B，C 处的三个数互不相同且和为 1，记所有顶点上的数之和为 f(n)，则有 f(2)＝2，f(3)＝__________，…，f(n)＝__________.
解析：当 n＝3 时，如下图所示，各顶点的数用小写字母来表示，即由条件知 a＋b＋c＝1，x 1 ＋x 2 ＝a＋b，y 1 ＋y 2 ＝b＋c，z 1 ＋z 2 ＝c＋a.
∴x 1 ＋x 2 ＋y 1 ＋y 2 ＋z 1 ＋z 2 ＝2(a＋b＋c)＝2. ∵2g＝x 1 ＋y 2 ＝x 2 ＋z 1 ＝y 1 ＋z 2 ， ∴6g＝x 1 ＋x 2 ＋y 1 ＋y 2 ＋z 1 ＋z 2 ＝2(a＋b＋c)＝2， 即 g＝ 13 . ∴f(3)＝a＋b＋c＋x 1 ＋x 2 ＋y 1 ＋y 2 ＋z 1 ＋z 2 ＋g＝1＋2＋ 13 ＝103. 进一步可求得 f(4)＝5.由 f(1)＝1＝ 33 ，f(2)＝63 ＝f(1)＋33 ，f(3)＝103＝f(2)＋ 43 ，f(4)＝153＝f(3)＋ 53 ，可得 f(n)＝f(n－1)＋n＋13. 所以 f(n)＝f(n－1)＋ n＋13
＝f(n－2)＋ n＋13＋ n3 ＝… ＝ n＋13＋ n3 ＋n－13＋…＋ 33 ＋f(1) ＝ n＋13＋…＋ 33 ＋23 ＋13
＝ 16 (n＋1)(n＋2)． 答案：
103 16 (n＋1)(n＋2) 三、解答题(本大题共 6 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知 a 是整数，a 2 是偶数，求证：a 是偶数． 证明：(反证法)假设 a 不是偶数，即 a 是奇数，则设 a＝2n＋1(n∈Z)． ∴a 2 ＝4n 2 ＋4n＋1. ∵4(n 2 ＋n)是偶数， ∴4n 2 ＋4n＋1 是奇数， 这与已知 a 2 是偶数矛盾，所以假设错误， 即 a 一定是偶数． 18．用三段论证明：直角三角形两锐角之和是 90°. 证明：任意三角形的内角和为 180°.大前提 直角三角形是三角形．小前提 直角三角形的三内角之和为 180°.结论 设直角三角形的两个内角分别为∠A，∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°. 等量减等量差相等．大前提 (∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°.小前提 ∠A＋∠B＝90°.结论 19．观察下表 1， 2,3， 4,5,6,7， 8,9,10,11,12,13,14,15， … 问：(1)此表第 n 行的最后一个数是多少？ (2)此表第 n 行的各个数之和是多少？ (3)2011 是第几行的第几个数？ 解：(1)由表知，每行的第一个数为偶数，所以第 n＋1 行的第一个数为 2 n ，所以第 n 行的最后一个数为 2 n －1. (2)由(1)知第 n－1 行的最后一个数为 2 n－ 1 －1，第 n 行的第一个数为 2 n － 1 ，第 n 行的最后一个数为 2 n －1.又由观察知，每行数字的个数与这一行的第一个数相同，所以由等差数列求和公式得， S n ＝ 2n － 1 2 n － 1 ＋2 n －12＝22n－ 3 ＋22n－ 2 －2 n － 2 . (3)因为 2 10 ＝1024,2 11 ＝2048，又第 11 行最后一个数为 2 11 －1＝2047，所以 2011 是在第11 行中，由等差数列的通项公式得，2011＝1024＋(n－1)·1，所以 n＝988，所以 2011 是第11 行的第 988 个数． 20.
如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，四边形 ABCD 为正方形，P 点在平面 ABCD 内的射
影为 A，且 PA＝AB＝2，E 为 PD 的中点．求证：
(1)PB∥平面 AEC； (2)平面 PCD⊥平面 PAD. 证明：
(1)如图所示，连结 BD 交 AC 于点 O，连结 EO.∵O 为 BD 中点，E 为 PD 中点，∴EO∥PB.∵EO⊂平面 AEC，PB⊄平面 AEC，∴PB∥平面 AEC. (2)∵P点在平面ABCD内的射影为A，∴PA⊥平面ABCD.∵CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD. ∵在正方形 ABCD 中 CD⊥AD 且 PA∩AD＝A， ∴CD⊥平面 PAD.又 CD⊂平面 PCD， ∴平面 PCD⊥平面 PAD. 21．设函数 f(x)＝|lgx|，若 0＜a＜b，且 f(a)＞f(b)． 证明：0<ab<1. 证明：法一：由已知 f(x)＝|lgx| ＝ lgx x≥1－lgx 0＜x＜1. ∵0＜a＜b，f(a)＞f(b)． ∴a、b 不能同时在区间[1，＋∞)上， 又由于 0＜a＜b，故必有 a∈(0,1)． 若 b∈(0,1)，显然有 0＜ab<1； 若 b∈(1，＋∞)，由 f(a)－f(b)＞0， 有－lga－lgb＞0， ∴lg(ab)＜0，∴ab＜1.
法二：由题设 f(a)＞f(b)，即|lga|＞|lgb|， 上式等价于(lga) 2 ＞(lgb) 2 ， (lga＋lgb)(lga－lgb)＞0， ∴lg(ab)·lg ab ＞0， 由已知 b＞a＞0，∴ ab ＜1， ∴lg ab ＜0， ∴lg(ab)＜0， ∴0＜ab＜1. 22．已知数列{a n }的前 n 项和 S n ＝－a n － 12n － 1 ＋2(n 为正整数)．令 b n ＝2 n a n ， (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式． 解：(1)证明：在 S n ＝－a n － 12n － 1 ＋2 中， 令 n＝1，可得 S 1 ＝－a 1 －1＋2＝a 1 ， ∴a 1 ＝ 12 . 当 n≥2 时，S n － 1 ＝－a n － 1 － 12n － 2 ＋2，
∴a n ＝S n －S n － 1 ＝－a n ＋a n － 1 ＋ 12n － 1 . ∴2a n ＝a n － 1 ＋ 12n － 1 ， 即 2 n a n ＝2 n－ 1 an － 1 ＋1. ∵b n ＝2 n a n ， ∴b n ＝b n － 1 ＋1. 即当 n≥2 时，b n －b n － 1 ＝1， 又 b 1 ＝2a 1 ＝1， ∴数列{b n }是首项和公差均为 1 的等差数列． (2)由(1)可知，b n ＝1＋(n－1)·1＝n＝2 n a n ， ∴a n ＝n2 n .即数列{a n }的通项公式为n2 n .