在平常的学习中，我们不乏周而复始、简单重复的解题训练.其实很多习题，都是一些值得研究的好题.这些试题犹如一颗抛进平静湖面的小石子，若不加以好好利用，很快就消失于深邃的湖底.若能引申拓展，研究性地进行学习，往往可以成为引领我们拓展思维和认识规律的璀璨明珠.
下面以一道极其平常的轨迹试题为例，引导大家对问题进行一系列的引申与拓展，学会类比思维的方法，体会不同知识间的相互联系，了解命题者的其中一种命题思路.
问题：已知圆B：（x+1）2+y2=16及点A（1，0），C为圆B上任意一点，线段AC的垂直平分线与线段CB交于点D，求交点D的轨迹G方程.
分析：此题难度不大，利用求轨迹方程的几何法，易得|DB|+|DA|=4，根据椭圆的定义立得所求轨迹方程为+=1.
但若到此为止，大家总觉得浅尝辄止.由于所得的轨迹为椭圆，考虑到直线和椭圆的位置关系，是圆锥曲线乃至高考的重点内容，因此，何不借此机会加以适当的引申与拓展呢！为此，在原题的基础上，我们可设计如下问题：
引申1：若直线y=x与轨迹G交于第一象限内的一点E，求轨迹G在点E的切线方程.
解析：由y=
x，
+=1，得E（1，）.分析可知过点E的切线的斜率必存在，故可设过E点的切线方程为y-=k（x-1），与椭圆方程+=1联立，可得k=-，故所求的切线方程为y=-x+2.
同学们，不知你们发现没有：切线方程y=-x+2正好是将点E（1，）的坐标代入椭圆方程+=1化简所得.于是我们可类比“过圆x2+y2=r2上一点（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2”的结论，猜想过椭圆上的一点的切线方程是否也有类似的结论？便可顺水推舟，对问题拓展如下：
拓展1：过椭圆+=1（a>b>0）上一点M（x0，y0）的切线方程为+=1.
证明：对椭圆方程+=1两边求导，得+·y′=0，得y′=-，故与椭圆相切于点M（x0，y0）的切线斜率为k=-，得切线方程为y-y0=-（x-x0），化简并把+=1代入，得过椭圆上一点M（x0，y0）的切线方程为+=1.
同学们，椭圆有此结论，你会运用类比，联想“双曲线和抛物线也有类似的结论吗？”于是，很自然地会转入对以下结论的研究.
拓展2：过双曲线-=1（a>0，b>0）上一点M（x0，y0）的切线方程为-=1.
拓展3：（1）过抛物线y2=2px（p>0）上一点M（x0，y0）的切线方程为y0y=p（x+x0）.
（2）过抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上一点M（x0，y0）的切线方程为=ax0x++c.
证明留给同学们自行完成。
讲到这里，我估计同学们已经比较满意.但作为老师的我，总觉得尤兴未尽，能不能再将原题进行引申，以加深试题的难度和思维的空间呢！同学们，我们还可设计下面的问题：
引申2：设M（x0，y0）为轨迹G上任意一点，过M点的切线与椭圆H：+=1交于P、Q两点，椭圆H在P、Q两点的切线交于点R，求点R的轨迹方程.
解析：设椭圆G上任一点M的坐标为（x0，y0），则lPQ：+=1……①
又设P（x1，y1），Q（x2，y2），R（xR，yR），则过点P、Q的两切线方程分别为+=1，+=1.又此两切线的交点为R，则有+=1，+=1.
由于两点确定唯一的直线，因此lPQ又可表示为+=1……②，结合①式有：=，=.
又因为+=1，消去x0，y0，化简可得+=1，即为两切线交点R的轨迹方程.
真是太妙了！过椭圆上一点的切线与外椭圆交于两点，再过此两点作外椭圆的切线，两切线交点的轨迹还是一个椭圆.
同学们，你觉得这是一个偶然的巧合吗？能有一般的结论吗？
拓展4：已知两椭圆C1、C2，且C1在C2的内部，设内椭圆C1的方程为+=1（m>n>0），外椭圆C2的方程为+=1（a>b>0），过椭圆C1上任一点M作C1的切线交椭圆C2于P、Q两点，过P、Q作椭圆C2的切线，则两切线交点R的轨迹还是一个椭圆.如此继续，便形成了一个椭圆系.
证明：设椭圆C1上任一点M的坐标为（x0，y0），则lPQ：+=1……③
又设P（x1，y1），Q（x2，y2），R（xR，yR），则过点P、Q的两切线方程分别为+=1，+=1.又此两切线的交点为R，则有+=1，+=1.
因此，lPQ又可表示为+=1……④，结合③式可知=，=.
又因为+=1，消去x0，y0，化简可得+=1，即为两切线交点R的轨迹方程.
同学们，根据刚才的研究思路，聪明的你还能提出类似的问题吗？
同学们，解题不在于多，关键在于我们能否抓住问题，进行研究性学习，以拓宽我们的思路与视野。陷入茫茫的题海，只会压制我们的创新思维。在今后的学习中，愿我们一起能深入探究每一个例题、习题的潜在功能，多一些引申与拓展，开展研究性学习，提高问题的探究能力.
（作者单位：浙江省绍兴县柯桥中学）
责任编校 徐国坚
