摘 要：本文对二十六个优美不等式中第八个猜想不等式给出它的证明，并对它作推广和加强，最后给出猜想. 关键词：猜想不等式；证明；加强；推广；猜想 2011年1月安振平发表于《数学通报》上的《妙用抽屉原理证明不等式》二十六个优美不等式中第八个是一个猜想不等式.
原题：已知x，y是正实数，n≥2，n∈N，证明或否定：+≤1.
事实上，这个不等式是成立的，证明如下：
证明：+≤（m≥1）（*）
+≤
1-+1-≤
+≥
设A=+=+，由柯西不等式[mxy+y2+x2+mxy]+≥（y+x）2，所以A≥.
≥（m+1）（x+y）2≥2x2+2y2+4mxy（m-1）·x2+（m-1）y2-2（m-1）xy≥0（m-1）（x-y）2≥0，这是成立的，所以A≥，从而可知（*）成立.
由幂平均不等式可知n≤≤，故+≤，在不等式中，令m=2-1即得
+≤=1，所以原猜想不等式成立.
从证明过程知不等式+≤是原猜想不等式的加强. 这是一个二元的情形，笔者经过探索可将这一问题推广到三元情形.
命题：若x，y，z∈R+，m≥1，n∈N*，则 ++≤.
下面先证引理.
引理：已知x，y，z∈R+，m≥1，证明：++≤.
证明：原引理不等式等价于++≤
1-+1-+1-≤
++≥
A=++≥，
[mx（y+z）+（y+z）2+my（x+z）+（x+z）2+mz（x+y）+（x+y）2]A≥（y+z+z+x+x+y）2，A≥=，
因为≥，
2（m+2）（x2+y2+z2）+（4m+8）（xy+yz+zx）≥6（x2+y2+z2）+（6m+6）（xy+yz+zx）
（m-1）（x2+y2+z2）≥（m-1）（xy+yz+zx）
x2+y2+z2≥xy+yz+zx，这是熟知的不等式，所以A≥，从而原引理不等式成立，且由证明过程可知当且仅当m=1或x=y=z时取“=”.
再通过幂平均不等式得
n≤≤，
所以++≤.
由此笔者给出一个更一般的猜想不等式.
猜想：若xi∈R+，i=1，2，3...k，m≥1，n∈N*，则
++…+≤.
