【摘 要】在“方程意义”的教学中分类思想起着非常重要的作用，本文对教学“方程的意义”过程中遇到的如何在具体情境中引出各种式子，如何对各种式子进行分类并形成概念及其深化认识等问题对“方程的意义”进行了思考与实践，阐述在方程意义的学习中，用分类思想理解方程本质。
【关键词】等式；方程的意义；分类标准；教学实践
“方程的意义”是人教版五年级上册第四单元“简易方程”中的一节课，是学生学习代数初步认识的开始。在“方程的意义”这一课时的具体教学中，我们可以发现一般教师的设计环节主要包括：1.根据天平的不同状态引出各种式子；2.通过分类揭示含有未知数的等式是方程；3.通过写一写、辨一辨来巩固对方程的认识，并揭示方程和等式的关系。在这一个过程中，分类思想在概括方程的意义过程中起着重要的作用。如何结合具体的情境引出式子？如何在对式子的分析中进行分类？如何在分类后形成概念？如何在形成概念后深化认识，带着这些问题，我们对方程的意义这一节课进行了思考与实践。
一、结合具体情境引出各种式子
数学分类思想是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。因此，我们认为通过分类形成概念的前提条件必然是理解不同种类式子的本质意义，只有明确各类式子的本质属性才能为分类做好铺垫。
（一）思考：式子、算式、等式的联系与区别
在数学中，式子是算式、代数式、方程式等的统称。
笔者查阅有关算式的资料，发现对于算式的定义包括两部分：一是指在进行数（或代数式）的计算时所列出的式子，包括数（或代替数的字母）和运算符号（四则运算、乘方、开方、阶乘、排列组合等）两部分，它是一个运算，一种代数式，如：12-x，表示12与x的差是多少的运算或求比12少x是多少的运算；二是指由运算符号和关系符号联结数字而成的式子，如：5×2=10，表示2个5相加的结果（和）是10。在这里，“=”是作为一种指示你去做运算的记号出现在算式中的，“=”左边表示一个运算，“=”右边则表示运算的结果。
何为等式？从直观的角度来看，即为用“=”连接而成的式子。《小学教师之友·数学卷》一书中，对“等式”的定义如下：表示相等关系的式子叫等式。如：2+3=5，表示2和3的和与5相等；a+b=b+a，表示a与b的和与b加a的和相等；x-9=15，表示x与9的差与15相等。
由此可知，算式、等式都是式子。但式子并不一定是算式，也不一定是等式。
我们可以发现在算式和等式中都有“=”出现，但这并不能说等式就是算式，或算式就是等式。对于一个要求运算的式子，按照运算顺序进行计算，这些等式按照我们的定义就是算式，但对于未通过计算过程的等式则不是算式；算式中“=”左边是一个运算，右边表示一个结果，而等式中“=”连接的是两个具有相等关系的式子，所以等式可用来表示两个代数式之间的相等关系。
但从学生已有的知识经验来看，他们总认为写上“=”就要算出结果，即认为“=”左边表示的是一种运算，而“=”右边则表示运算的结果。根据以上对“算式”的定义，这样的等式为算式，可见当前学生对于等式的含义理解有所偏差，对等式的认识仅仅停留在表面，不习惯“=”两边连接的是两个具有相等关系的独立的表达式。因此，笔者认为理解等式的本质含义是学生学习“方程的意义”的生长点。式子是所有“式”的统称，等式是算式的其中一种，即算式包括等式，却不一定是等式。算式对等式具有一定的涵盖性，因此在“方程意义”的学习中，首先要让学生明确算式与等式的本质区别，算式具有运算的过程，而等式则表示两种量的相等关系。
（二）实践：利用天平引出各种式子，经历天平“平衡—不平衡—平衡”的过程，感受等式的本质属性
利用天平呈现最初的平衡，中间的不平衡和最后的平衡，学生在经历这个过程的时候能让学生用自己的话来描述天平两边各种不等和相等的关系，同时充分意识到天平中存在着相等的关系可以用一个等式来表示，以此为进一步研究方程首先是表示两边式子相等关系的模型做好铺垫。
【教学片段】
1.第一次体验等式两边相等的关系
课件出示一架平衡的天平，左边放一个空杯子，右边放一个100克砝码。
问：你发现什么？说明什么？
（天平平衡；一只空杯子的重量等于100克。）
（设计意图1[TP17A.TIF，Y，PZ]天平的第一次呈现，一方面让学生对天平平衡这一状态有所了解，即左右两边质量相等；另一方面得出一杯水的重量为100g，为天平的再次呈现提供条件。）
2.利用天平的动态变化，体验两边大小关系比较。
（1）在天平左边的空杯子里装满水，使得天平倾斜。
问：我给空杯子倒满了水，你看到了什么？这说明了什么？（天平左端重，杯子的重量加上水的重量大于100g。）
再问：我向杯子里倒了多少水知道吗？不知道的量该怎么表示？（x）杯子加水的重量可以用怎么样的式子来表示？（100+x）
问：你可以用一个算式来表示现在天平两边物品质量之间的关系吗？（100+x>100）
（设计意图2：天平的再次呈现，首先让学生自然回忆起原有的知识，用字母表示未知的量，并用含有字母的式子表示天平左边的总重量，再者根据天平倾斜这一现象比较左右重量的大小关系，抽象出不等式100+x>100，强化学生的某个意识，即由天平引出的式子都是经过大小比较得来，为等式本质的认识奠定基础。）
（2）为使天平平衡，不断增加天平右边的砝码，直至天平平衡。
问：要使天平平衡，该怎么做？
问：请你用一个式子来表示现在天平两边重量的大小关系？
（设计意图：在增加天平右边砝码的过程中，让学生在此基础上比较左右两边重量的大小关系，进而再次抽象出更多不等式，直至最后等式的出现，让学生意识该等式的出现是建立在天平左边的重量等于天平右边的重量。） （3）天平左端增加一杯水，丰富方程形式。
问：一杯水我们用“100+x”来表示，那两杯水同样用含有字母的式子表示该是怎样？（200+2x）
问：现在天平是一个怎样的状态，说明什么？能用一个式子表示现在的状态吗？（200+2x>250）
问：怎样使使天平平衡？你能用一个式子来表示天平现在的状况吗？（200+2x=500）
（设计意图：首先为下面方程的认识做铺垫，让学生意识到方程的形式多样化，方程中可以有加法算式，也可以有乘法算式；其次，方程的多样使得分类的不完全归纳更有说服力。）
二、针对具体实例进行分类与概括
数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在小学高段教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。
（一）思考：概念的形成取决于不同的分类标准
数学分类思想贯穿于整个方程教学的内容中，当知识积累到一定的程度就需要运用分类、归纳的思想来帮助学生建构自己的知识网络。数学概念学习中的分类思想，就是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类，得出某个新的概念的一种数学思想。分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。
在分类过程中，必须让学生明确分类必须选取适当的标准，不重复、不遗漏地将分类对象划分为若干类，从而提炼出每一类分类对象的属性。
1.有些要领本身就是分类的标准，有些性质在不同的条件下有不同的结论。如：三角形按边分，可以分为普通不等边三角形与等腰三角形（包括等边三角形）；按角分，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；而在直角三角形的基础上，又可将三角形分类出等腰直角三角形。
2.某些具有相对独立性事物所具有的特征也是分类的标准。如：在教学三上年级“四边形“内容时，教材中没有明确定义什么是四边形，什么是长方形，什么是正方形。但从小学生的认知水平来看，这些图形各有特征，具有相对的独立性，学生可以将不同的特征作为标准进行分类，来了解这些图形的共性和特性，从而加深对四边形、长方形、正方形的感知。只有分类教学，让学生掌握各自的特征，最后归纳总结，才能对所学知识融会贯通，深刻认识。因此在概念教学中，教师要懂得挖掘教材提供的机会，进行数学分类思想的渗透，把握渗透的机会。
（二）实践：从现象中洞察本质
对分类对象进行连续性地分类，建构层层递进的标准，对概念教学的进行有着推进作用。如：在“方程的意义”教学中，学生对方程意义的理解就是通过对不同式子的二次分类建构“等式”、“含有未知数”这两个标准，从而概括出“含有未知数的等式是方程”这一定义。笔者对该课例进行了两次教学，第一次分类前各种式子的板书呈现采用不同的编排，如下：
（分类片段一）
问：你能对这些式子进行分类吗？
生1：上面4个是一类，下面2个是一类，根据一杯水和两杯水来分的。
师：还有别的分类吗？
生2：“>”连接的分一类；“”、“”、“<”连接的式子分为一类。
（分类片段二）
问：你能对这些式子进行分类吗？
生：把等号连接的分为一类，把用不等号连接的分为一类。
（根据学生的分类，将不等式和等式分别圈在一起）
（设计意图3、4：第一次的分类，将等式与不等式区分开来，为二次分类做好铺垫
工作。同时用画圈的方法把等式和不等式分开，不影响学生的理解，而且从视觉上来说更加直观。此外，在比较中总结等式所代表的是两边物体质量相等时天平的状态，再一次让学生感知等式所表示的是两边相等的关系。）
该教学点的主要目的是让学生以“是不是等式”为分类标准来提炼出等式，但在两次教学中，同样的式子，同样的问题，不同的就是板书的编排，学生对式子的分类固然都有标准设定，但对分类的标准定义却大有不同，这不得不让人思考板书的重要性。板书是教师上好课的不可缺少的重要辅助手段，它也用最直观的方式展现学生的学习过程和学习结果。科学合理的板书是有效提高教学质量的一种教学行为，是整个课堂教学的有机组成部分。板书不仅可以帮助帮助实现教学目标，更能引导学生学习，培养学生思维品质。
第一次的分类教学中，教师没有精心设计板书，直接将各种式子按照呈现的顺序在黑板上根据由上往下的顺序展示出来，使得学生在经历直观的感知后，思维脱离原设定的轨迹，直接导致非本质的生成；而第二次教学，对板书的呈现进行有意编排，改变各个式子在黑板上的相对位置，顺势引导学生利用“是否是等式”的标准进行分类，同时用圈出同类型式子的方法使得学生直观地从感官和思维上深刻方程必须是等式这一层含义，为对方程的理解打下坚实的基石。学生通过最直接的视觉感知，在已有的认识水平上立刻建立起相应的分类标准，与此同时，在建构标准的同时，学生自然对符合该标准的式子进行概括特点，抽象本质属性。
三、丰富具体实例抽象方程概念
概念在心理学上指的是反映客观事物共同特点与本质属性的思维形式，是高级认知活动的基本单元，以一个符号，就是词的形式来表现。
（一）思考：方程概念形成的心理过程
方程概念形成，是指学生从许多具体实例中，以分类归纳的方式概括出方程的本质属性，从而获得方程概念的一种形式。概念形成的心理过程主要包括辨别、抽象、概括等心理活动，但这些往往是相互穿插在一起，没有明确的先后顺序。
1.辨别具体实例
概念的形成必须以丰富的感性材料作为基础，因此在教学过程中，教师应提供大量有关的实例让学生进行直观的辨别，为学生在之后的认识、抽象中提供丰富材料。例如，在分数的认识中，辨认把一张长方形的纸对折，每份是这张长方形纸的 ；一张正方形的纸平均分成6分，每份是这张正方形纸的 ；一壶水平均倒入到3个水杯里，每个水杯中的水是这壶水的 。 2.抽象出本质属性
在丰富材料感性认识的基础上，让学生在已有的认知水平上对其进行分析，感知其共同属性，抽象出该类事例的本质属性。如：纸是纸质的，可以用来写字，平均分成6分，1份是它的 ；水是液态的，可以用来饮用，可以用来浇花，平均分成3份，1份是它的 。通过对各事例属性的分化比较，舍去一些非本质的个别属性，抽象出他们的共同属性，那么上述材料都是把一个“物体”平均分成若干份，其中的1份就是它的几分之一。
3.概括概念
将以上抽象出的本质属性推广到同类事例中去，形成概念，并用定义表示。如：像 ……这样的数都叫做分数。
（二）实践：在不断地否定与完善中形成概念
1.丰富具体实例，获得感性认识
在“方程的意义”教学过程中，在第一次分类的基础上，为加深学生后续学习中对“方程是等式”这一关系的理解，教师再次出示天平引出各种式子以丰富后续学习中作为方程的实例（如：含有两个未知数的方程；等号左右两边都有含有未知数的式子）。
【教学片断】
教师通过课件出示各种状态的天平（如图5）
问：你能把隐藏的算式找出来吗？（让学生说明各个算式所表示天平两端物体重量的关系）
（设计意图：增加各类式子，一方面后面进行分类时使参与分类的式子形式更加多样，便于帮助学生对于方程意义的理解；另一方面，再次让学生感知不同的数量关系建立不同的数学模型，巩固对等式的认识，为后面方程概念的建立及对方程本质的认识做好铺垫。）
2.再次辨别，加深等式意义的理解
对于之前增加的实例，让学生再次辨别，帮助学生对于后续中方程意义的理解，同时大量的直观材料也让学生自然抽象感知“方程是等式”这一特点。
3.二次分类，形成方程概念
让学生再次以感觉、知觉和表象为基础，经过分析综合，发现等式中另一种新概念的形成——方程：是等式；含有未知数，并概括出“含有未知数的等式”这一方程的意义。
（教学片断）
（1）通过判断，对新的式子进行分类
请将刚才得到的式子放入到相应的圈里。
（2）对所有的等式进行分类，引出方程的特点：是等式；含有未知数。
问：圈起来的等式都一样吗？你还能给它们分分类吗？你是根据什么来分的？（将含有未知数的等式用黄粉笔圈起来）
（3）概括方程定义
总结：就因为等式里多了未知数，数学家给它取了一个新的名字，叫做方程。
问：这样看来，你认为什么叫方程？（含有未知数的等式叫做方程。）
（设计意图：通过再次分类，使学生自行区分出方程，并将对方程的粗略感知进行语言概括。）
分类思想是根据对各研究对象的相同点和不同点的辨别，将其划分为若干个不同种类的思维过程。在“方程意义”的教学中分类思想起着非常重要的作用，学生经历两次分类的过程，根据不同的分类标准，在明确等式本质属性的基础上，比较且辨别出方程的本质特点，形成方程的概念，为方程的后续学习做好铺垫工作。
【作者简介】
傅伟（1975— ），男，浙江杭州人，小学高级教师，供职于杭州市萧山区新湾小学，从事小学数学教学及研究。
