摘 要： 数的问题，可借助形去观察；形的问题，也可借助数去思考.采用这种“数形结合”来解决数学问题可以化繁为简，化难为易.本文主要就“数形结合”这一思想方法在高中数学中的应用进行简单的归纳小结，通过具体实例说明.
关键词： “数形结合”思想 高中数学教学 函数问题 不等式问题 平面解析几何问题
在数学解题中，将抽象思维与形象思维在解题过程中交互应用，可以使初看很难、很繁的问题变得简单，这就涉及“数形结合”思想方法的应用，本文主要就“数形结合”这一思想方法在高中数学中的应用进行简单的归纳小结，通过具体实例说明.
解决数学问题时，根据问题的背景与可能，对于数的问题，借助形去观察，而对于形的问题，则借助数去思考，采用这种“数形结合”来解决数学问题的策略，称为“数形结合”的思想方法.
“数形结合”的基本思路：根据数的结构特征，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特征和规律，解决数的问题，称为“以形解数”；也可以将图形信息部分或全部转换成代数信息，使要解决的形的问题转化为数量关系的讨论，称为“以数解形”.
“数形结合”思想在函数、不等式、解析几何中均有较广泛的应用.下面通过具体实例说明“数形结合”思想在数学解题中的应用.
一、应用“数形结合”思想解决函数问题
一些函数的概念最值问题、值域问题、单调性、奇偶性等问题，应用“数形结合”的方法，解题快捷.
1.函数的概念问题
例1：观察下图，指出哪个图像所对应的函数存在反函数.
分析：由反函数定义知x y之间应一一对应，故应选D.
2.二次函数问题
例2：若函数y=x+2ax+1在（+∞，1]上是为减函数，则a的取值范围为（-∞，1].
解：函数对称轴为x=a，当函数对称轴在直线x=1上或在x=1右侧时，函数在（-∞，1]上为减函数，则-a≥1，即a≤-1.
3.函数单调性、奇偶性问题
例3：若奇函数f（x）在区间[3，7]上为增函数，且最小值为6，那么f（x）在区间[-7，-3]上为（ ）
A.增函数且最小值为-6 B.增函数且最大值为-6
C.减函数且最小值为-6 D.减函数且最大值为-6
用一般方法过程较繁，可利用“数形结合”的思想方法，构造出符合条件的函数图像.
解：由奇函数在对称区间上单调性的特征，可得[-7，-3]上为增函数且有最大值为-6，故应选B.
4.方程解的个数问题
方程解的个数问题用一般方法有时较繁、较难，若利用“数形结合”的方法，将方程实数解的个数问题转化为两曲线交点个数问题，问题更易于解决.
例4：讨论方程|x-4x+3|=a（a∈R）的实数解的个数.
解：作出及y=|x-4x+3|及y=a图像方程解的个数就是两个函数图像交点个数问题.
①当a1时，原方程有2个实数解；
③当a=1时，原方程有3个实数解；
④当0 二、应用“数形结合”思想解决不等式问题
利用“数形结合”思想方法解不等式时可避开复杂的分类讨论，利用几何意义，结合几何图形解题，可以化难为易，过程简洁.
1.不等式中确定变量的范围
例1：已知关于x的不等式|x+2|+|x-4| 解：设y=|x+2|+|x-4|表示数轴上点P到表示数-2，4两点的距离之和，由图可知y的最小值为4-（-2）=6，故所求a的取值范围为a>6.
2.解不等式
例2：不等式
此题可用一般方法解不等式，利用“数形结合”的思想方法过程较为简单.
解：设y=，y=x的图像，由图可知当2
“数形结合”的思想方法解决斜率、直线与圆、直线与圆锥曲线的相关问题，可以化难为易，大大简化运算、减小运算量，应用广泛.
1.直线相关问题
例1：已知直线L过点P（0，2）且与已点A（2，4）、B（-2，3）为端点的线段AB相交，求直线L的斜率的取值范围.
解：设L的斜率为k，k==3，k==-，直线L在AP、PB之间旋转时与线段AB均有交点，则k≥3或k≤-.
2.圆相关问题
在求与圆有关的最值问题时利用“数形结合”的思想，可以使问题迅速得到解决.
例2：圆x+y-2x+4y+4=0上的点P到直线3x-4y+9=0的最大距离为？摇 5 ？摇.
解：将圆配方得（x-1）+（y+2）=1，圆心（1，-2），半径r=1，P为圆上任意一点，当PC垂直直线3x-4y+9=0时距离最大，最大距离为d+r（d的为圆心到直线的距离），d==4，则最大距离为5.
3.圆锥曲线相关问题
利用“数形结合”思想方法解决圆锥曲线的相关问题，结合图像、性质，直观形象，有利于迅速找到解题思路.
例3：已知A（3，2）P为抛物线y=2x上的动点，F为抛物线焦点，当|PA|+|PF|最小时，点P坐标为（ ）
A.（0，0） B.（1，1） C.（2，2） D.（，3）
解：由抛物线定义知|PN|=|PF|，则|PA|+|PF|=|PA|+|PN|，由图像得，当N、P、A三点在一条直线上时，|PA|+|PN|最小，此时点P纵坐标与A纵坐标相同，均为2，故选C.
直线与双曲线交点问题，利用“数形结合”思想方法，过程简单、快捷.
例4：直线L：y=k（x-3）与双曲线-=1只有一个公共点，则满足条件的直线有（ ）
解：由图形结合双曲线的几何性质知，直线L与双曲线的右顶点，当直线L与双曲线渐近线分别平行时均只有一个公共点，当直线垂直与x轴时也只有一个交点，但斜率不存在，故应选C.
以上实例，简单分析了“数形结合”思想在函数、不等式、解析几何中的相关应用，当然，“数形结合”思想在数列、三角函数等方面也有较广泛的应用，将一些数学问题利用“数形结合”的方法去解决，可以化难为易，形象直观，更易于理解，可以大大简化运算，提高解题速度与正确率.
参考文献：
[1]徐有标，刘治平.高考中的数学思想方法.北京：龙门书店，2002，第一版.
[2]薛金星.怎样解题.高中数学解题方法与技巧.北京.北京教育出版社，2006，第一版.
