数学是思维的“体操”，问题是数学的“心脏”，解题则是提高数学水平的重要途径.学生正是通过一个一个的解题，使思维能力得到一步一步的提高.在解题过程中，若能追求解题的最优化，则一方面可以提高思维的深刻性，另一方面也给学生以美的熏陶，让学生深切感受到数学的奇妙，领悟到数学的真谛，激发学生更加喜爱数学，激励更多的人从事数学研究.下面仅以函数、不等式、数列等方面的内容加以说明.
一、 变换思维角度
不少问题按一般思维方法，往往会束手无策或者是计算量偏大，但如果我们运用“正难则反”、逆向思维等手段改变思维角度，则往往能起到“柳暗花明”之功效.
例1：等差数列{a}中，d=，a=，S=-，求a及n.
[分析]通常可以列出关于a、n的方程组解决，相对稍繁.但如果变换一种角度，进行逆向考虑，把a看作第一项，则a为最后一项，公差为-，就简单多了.
事实上，-=n×+×（-）？圯n=10，则a=-3.
例2：若ΔABC的三边a、b、c的倒数成等差数列，求证：∠Ba，b>c，>，>，∴+>，即得矛盾.真是令人大开眼界.正如牛顿所说：“反证法是数学家最精当的武器之一.”
例3：已知=（，），=（，），求+与-2（-）的夹角.
[分析]一般思路：易知
||=||=1，·=0，cosθ==-，
而+=（，），-=（，）计算量偏大.
如果改进计算方法，则可简化计算：
|+|===2，同样|-|=2，则cosθ=-，又0°≤θ≤180°，∴θ=120°.
思考：如果从图形上考虑，则可显而易见：注意到||=||=，||=||=1，以，为边作出的平行四边形为矩形，∠OAB=30°，易知所求角为∠BOC=120°.
启发：向量问题有时根据具体情况可利用几何意义，如平行四边形法则、三角形法则、共线、长度、平面几何结论，从图形入手，往往可起到化繁为简的作用.
二、变更问题方式
如果一个问题难于解决，我们就可以将其转化为它的等价命题，或者利用反演原则转化为其他领域问题，必要时甚至可以强化结论，从而较好地解决问题.
例4：已知函数f（x）=（1+）-2（x≥-2），求方程f（x）=f（x）的解集.
[分析]按常规思维，须求出f（x），一步一步去解.如果我们将问题变更为：等价于解方程f（x）=x，则易得x=±2.
例5：已知函数f（x）=-，（1）证明f（x）存在反函数并求出其反函数；（2）证明f（x）的反函数图像与直线y=x无交点.
[分析]（1）即证a≠b时f（a）≠f（b），正面直接证明较困难.若改为证它的逆否命题：若f（a）=f（b）则a=b，则不太困难.事实上，令f（a）=f（b），即-=-，变形得（-）（1+）=0？圯==a=b，不难求得f（x）=（x+）.
（2）若直接由f（x）与y=x联列方程组，则计算量较大.这里若注意到一个函数与其反函数图像之间的关系，只需证明原函数f（x）与直线y=x无交点即可.
f（x）=-y=x？圯x（1-）=1，当0（a-1）lgb，即证>（*）
这自然联想到数形结合，即比较斜率大小.考察函数y=lgx，A（1，0）、B（a，lga）、C（b，lgb），B、C两点在图像上，∵b>a>1，由图像知k>k，即（*）成立，原不等式得证.（见图2）
例10：若|a|<1，|b|<1，则|a+b|+|a-b|<2.
[分析]运用分类讨论，则有意想不到的效果.
若（a+b）（a-b）≥0，则|a+b|+|a-b|=|（a+b）+（a-b）|=2|a|<2
若（a+b）（a-b）<0，则|a+b|+|a-b|=|（a+b）-（a-b）|=2|b|<2
证毕.
例11：抛物线x=8y的焦点为F，点M（-2，4），P为抛物线上的一点，求P点坐标，使得|PM|+|PF|最小.
若以常规设法，设P（x，y）为抛物线上的一点，则|MP|+|PF|=.显然，这与简单性是背道而驰的，可以说此路繁琐之极.
考虑到数形结合，由定义可知，|MP|+|PF|=|PM|+P到准线的距离，如图3，易得P点坐标为p（-2，）.这个解法巧妙，简捷，合理，优美.
又如：求cos+cosπ+cosπ的值.
解：按常规的方法是用三角变换，乘以后积化和差，逐步变换得结果，另外，还可以用二项方程x-1=0的复数根的实部之和为零来解，最佳的方法是化为cos-cosπ+cosπ，作等腰三角形ABC（如图4），使∠A=，AB=AC=1，BC=x，在∠ABC内作∠DBC=π，则AD=BD=1-x，BC=CD=x，cos=，cosπ=，cosπ=，又对△BCD用余弦定理，则易得结果为.
