摘 要： 一道数列题从不同角度、不同侧面定位分析其数量关系，可以用不同方法经过不同的解题过程得出相同的结果.一题多解，可以培养学生的发散思维能力，解题过程中从多个角度分析问题、解决问题，还能锻炼学生举一反三的能力.本文以一道数列题为例，详细说说它的三种不同解法.
关键词： 一题多解 数列题 三种解法
数列的通项公式和前n项的和是高考考查的重点内容，二者相互转化，构造等差、等比数列及综合知识应用，通过一题多解，培养学生的解题能力.
例：已知数列{a}的前n项和为S，a>0且S=（a+），求数列{a}的通项公式.
解法一：∵S=（a+） a>0，∴S=a=（a+），得：a=1.
S=（a+），a=S-S，S=（S-S+），
S+S=，S-S=1.
∴数列{S}是首项为S=1公差为1的等比数列.
∵S=1+（n-1）×1=n
∴S=
∴a=S-S=- （n≥2），当n=1时也适合，∴a=-.
解法二：∵S=（a+） a>0，∴当n=1时，S=a=（a+），得：a=1.
当n≥2时，a=S-S=（a+）-（a+），
∴a-=-a+.
两边平分得：a-=-a+=4.
∴数列{a+}是首项为a+=2公差为4的等差数列.
a+=2+（n-1）×4=4n-2 解方程（不含题意的舍去），
得：a=-，n=1时也适合，∴a=-.
解法三：∵S=（a+） a>0
a=S=1
a=S-S=-1
a=-
a=-
猜想a=-
下面用数学归纳法证明.
①当n=1时，适合.②假设当n=k（k≥1，k∈N）时，等式成立，
即a=-，当n=k+1时，a=S-S=（a+）-（a+），a-=-2，
解方程a=-（不合题意舍去）.
∴n=k+1是等式成立，由①、②知a=-.
总之，一题多解，既能培养学生的思维能力，又能提高学生的综合知识应用能力.
